Bonjour

je ne comprends pas ta question... tu divises P par X^4-1 ??? ou tu divise X^4-1... mais par quoi ?

par définition de la division euclidienne, le reste est un polynôme de degré < à celui du diviseur... donc ici < 4 si on divise par X^4-1

MM

Pardon, j'ai rédigé trop rapidement,
rend le reste de la division de XP par X⁴-1

Je ne vois pas du tout comment poser mes calculs pour aboutir à une matrice...

et P est de degré inférieur ou égal à 4 ?

Oui c'est bien ça et le reste de degré inférieur ou égal à 3.

quand on divise un polynôme A par X⁴-1, cela s'écrit A=Q(X⁴-1) + R
avec d°R<4 puisque le diviseur est de degré 4... donc R₃[X]

donc est une application linéaire de ... dans ... ?

Enfin c'est : R₄[X]-> R₃[X]
donc ce serait peut être P dans R₃[X] et XP dans R₄[X]

prends l'énoncé tel qu'il est et ne complique pas les choses.

pour exprime la matrice, il te faut des bases.... plus exactement il te faut l'image d'une base de l'espace de départ exprimée dans une base de l'espace d'arrivée...

Base de l'espace de départ ?...

Base de l'espace d'arrivée ?...

Je ne sais pas si c'est admis mais une base de R₄[X] est (1,X,X²,X³,X⁴)

oui, c'est la plus simple, la base dite "canonique"

et base de l'espace d'arrivée ?

De même pour R₃[X], une base est (1,X,X²,X³)

donc déjà ta matrice aura 5 colonnes et 4 lignes.

alors calcule l'image de la base de départ par phi...

(1) = ...?

l'image de départ ?...

En fait il faut donner l'image par des 5 éléments de la base canonique de l'espace de départ ?

Alors (1)= R

On peut déterminer le R ?

ben oui, regarde dans ton cours la définition de l'écriture matricielle d'une application linéaire... dans des bases données.

C'est quoi R dans ton résultat ?????

ben oui, c'est même plutôt l'idée !!!!

(P) est le reste de la division euclidienne de X P(X) par X⁴-1... c'est bien ce que dit ton énoncé non ?

alors applique cela à P(X) = 1 et divise X par X⁴-1

Je ne vois pas trop en fait, ça a un rapport avec le fait que ce soit une base, donc que la famille est libre ?

Ah d'accord je n'avais pas actualisé la page, j'essaye tout de suite

Si P(X)=1 alors R=1 ...?

tout polynôme de degré inférieur ou égal à 4 s'exprime de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients réels de cette famille de polynôme... c'est quasi la définition d'un polynôme de degré inférieur ou égal à 4... donc c'est une base de R4[X]... mais là n'est pas le problème !

donc (1)=1

et quelles sont les "coordonnées" de 1 sur la base d'arrivée (1,X,X²,X³) ?

donc c'est bien ça.

Les coordonnées sont (1,0,0,0)

donc la première colonne de ta matrice est (1,0,0,0)

calcule (X) , (X²) , (X³) et (X⁴)

Euh attends... problème...

tu m'as bien dit que (P) est le reste de la division de XP par X⁴-1 ???

donc (1) ne vaut pas 1 !...

mais je ne vois pas trop la marche à suivre ici pour R car le quotient n'est pas connu(???)
Donc (X)=XP(X)= Q(X⁴-1)+R

(1) est le reste de la division de X par X⁴-1

écris moi cette division euclidienne

MM

Alors ça signifie que je n'ai as bien compris

tu as vu en cours la division euclidienne de polynôme je présume...

Ok je le fais mais pourquoi diviser par X ?

Le reste est X

lis correctement les messages...

qui parle de diviser PAR X ?????

Oui j'ai effecivement vu la division euclidienne.

pardon oui, j'ai effectué la bonne division, le reste est X.

écris moi ta division s'il te plait

reste de la division de X par X⁴ - 1 :

Ca me donne (c'est assez court ...)                              
X = 0 * X⁴ - 1  + X

mais je ne comprends pas pourquoi je dois faire ce calcul puisque X vaut 1. (?)

comment ça X vaut 1....  cela n'a aucun sens...

quand tu écris les quantité mathématiques, les parenthèses ne sont pas optionnelles...

X = 0 (X⁴-1) + X

donc (1)=X

et quelles sont les coordonnées de X sur la base d'arrivée ?

Les coordonnées dans la base d'arrivée seraient (0,1,0,0).

Quand on fait (1), on prend bien le cas X=1 ?
              (1) = 1 * P(1) = R ????
Parce qu'il y a un point qui m'échappe sinon ?

oui pour les coordonnées... la première COLONNE de ta matrice est donc 0,1,0,0

Pour ce qui est du calcul de (1), ta remarque montre que tu n'as pas compris l'énoncé et la notion de polynôme...

X est un polynôme, pas un réel... X=0 n'a pas de sens....

Relis l'énoncé....

pardon... X=1 n'a aucun sens...

recopie moi l'énoncé exact de ton exercice...

Je l'ai bien lu l'énoncé. C'est juste que je pensais qu'on évaluait le polynôme en 1.
Que fait-on avec la condition (X)= 1 ?
Pourquoi fait-on la division de X par X⁴-1 ?

Pardon c'est (1)

tu es totalement hors-sujet...  nulle part l'énoncé que tu m'as donné ne parle de l'évaluation en une valeur particulière.

d'après ce que tu m'as dit :

pour P₃[X], (P) est le reste de la division de XP(X) par (X⁴-1)

C'est bien ça ?

et tu cherches la matrice dans la base canonique, c'est bien ça ?

pour calculer (1), c'est le polynôme P qui vaut le polynôme 1 (polynôme de degré 0 dont le coefficient constant vaut 1) ce n'est pas X !

donc X * P(X) = X * 1 = X

et il faut donc déterminer le reste du polynôme X dans sa division par (X⁴-1)

je me contente d'appliquer la définition de l'énoncé

Bon... puisque tu ne réponds plus, je continue mon raisonnement...

Pour déterminer (X), il te faudra diviser X² par (X⁴-1)

Pour déterminer (X²), il te faudra diviser X³ par (X⁴-1)

Pour déterminer (X³), il te faudra diviser X⁴ par (X⁴-1)
et
Pour déterminer (X⁴), il te faudra diviser X⁵ par (X⁴-1)

Tous ces restes, exprimés dans la base canonique de ₃[X] te donneront les colonnes de ta matrice.

MM

Je suis là. J'ai eu un soucis de batterie faible. désolé.

je vais pas tarder à aller me coucher... lis mes derniers messages et dis moi ce que tu en penses...

MM

D'accord, c'est ça que je n'avais pas compris. Je n'avais pas compris que s'appliquait uniquement à P. Mais c'est plus clair maintenant puisque c'est effectivement P le polynôme de R₄