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Matrice d'une projection orthogonale

Posté par
Jau
28-12-10 à 13:39

Bonjour,

Y a-t-il une méthode rapide pour trouver la matrice d'une projection orthogonale ?
Par exemple, on cherche la matrice dans la base canonique de R3 de p, la projection orthogonale sur le plan P d'équation x+2y-3z = 0.

J'ai commencé par calculer l'orthogonale de P : c'est la droite vectorielle portée par le vecteur u = (1,2,-3).
Ensuite je me suis intéressé aux coordonnées de p(e1) = a.e1 + b.e2 + c.e3 dans la base canonique, qui correspondent à la première colonne de la matrice.
Je suis parti de e1 = p(e1)+ku et j'en ai déduit un système de trois équations à quatre inconnues (a,b,c,k). J'ai rajouté l'équation qui caractérise le fait que p(e1) soit dans P (a+2b-3c = 0) et j'ai pu trouver k = 1/14.
Du coup je trouve sans soucis que a = 13/14, b = -2/14 et 3/14.
Par des calculs analogues j'ai trouvé les coordonnées de p(e2) et p(e3) dans la base canonique : (-2/14, 10/14, 6/14) et (3/14, 6/14, 11/14).

Dès lors j'ai ma matrice, qui a un joli 1/14 en facteur (d'ailleurs cette quantité correspond à l'inverse de la norme de u, un hasard ?). Bref c'était plutôt calculatoire comme méthode et je me demandais s'il n'y avait pas moyen d'aller plus vite.

Posté par
GaBuZoMeu
re : Matrice d'une projection orthogonale 29-12-10 à 00:17

Bonsoir,

Moi je commencerais par calculer la matrice de la projection orthogonale \pi_u sur la droite engendrée par u, qui est  facile à obtenir en utilisant \pi_u(v)= \frac{v\cdot u}{||u||^2}\, u. Après, la projection sur P est  \mathrm{Id}-\pi_u.

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