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Matrice et application linéraire
Bonjour!!
Soit V
K[X] le sous espace vectorieldes polynomes de degré
4.Soit:
f:V
K², P(X)
(P(1),P'(0))
Vérifier que f est linéaire et réprésenter cette aplication par une matrice, déterminer son rang et calculer le "noyau"(je sais pas trop si ca se dit comme ca, ca correspond À l expression "ker") de la base.
Pour V je choisis la base: 1,x,x²,x³,x^4 pour K² je choisis: (1,0) et (1,1)
Voici ce que j'ai fait pour montrer que f est linéaire:
f(
p)=f(a0+a1*x+a2+*x²+a3*x³+a4*x^4)=(a0,0)+(a1,a1)+(a2,0)+(a3,0)+(a4,0) pour f(p) je trouve la même chose donc multiplication scalaire est vérifiée.
on fait pareil pour l'addition vectoriel:
f(p+q)=(a0+b0,0)+(a1+b1,a1+b1)+(a2+b2,0)+(a3+b3,0)+(a4+b4,0) et je trouve pareil pour f(p)+f(q) donc addition vectoriel vérifiée et on peut dire que f est linéaire.Pour déterminer la matrice j'ai quelques problèmes voici ce que j'ai fait:
P(X)=1
(1,0)
P(X)=X(1,1)
P(X)=X²(1,0)
P(X)=X³(1,0)
P(X)=X^4(1,0) il manque surement quelque chose, mais je bloque!...
Merci d'avance de votre aide!
je sais que la matrice aura 5 colonnes et 2 lignes...mais après pour l'écrire je ne sais pas comment il faut faire...
Tu exprimes f(1), f(X), f(X²) etc. en fonction de tes deux vecteurs de base (1,0) et (1,1).
Par exemple :
Donc dans ta première colonne tu auras un 1 puis un 0.
etc.
ah d accord cool! donc la matrice est:
A=
1 0 1 1 1
0 1 0 0 0
cette matrice a deux rangs et dim ker(A)=5-2=3
on a 
1=1 et 2=1 donc la base du noyau est :
b3= -1 b4= -1 et b5= -1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
hmm...je sais pas trop comment expliquer...si on essaye de tracer u escalier dans la matrice on aura ceci:
|_1 0 1 1 1
0 |_1 0 0 0
donc deux rangs.
Non mais que veut dire l'expression "deux rangs"? Le rang d'une matrice est un nombre, qui désigne la dimension de son image, soit encore le nombre de colonne libre de ta matrice. Ici effectivement c'est 2, si c'est ce que tu veux dire.
oui
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