Inscription / Connexion Nouveau Sujet
matrice hessienne et valeurs propres
Bonsoir, j'ai un exercice qui me pose problème :
On considère un entier n supérieur ou égal à 2 et l'application f de E dans R définie par :
f((x1, x2, ..., xn))= ( 
xi4 de i=1 à n ) + ( n+1 - xi de i=1 à n )4
Soit A = (1,1,...,1) 
E Calculer la matrice hessienne 
² fA et déterminer ses valeurs propres.
Quel est le signe de la forme quadratique hessienne qA ?
Ce qui me pose problème, c'est la somme. Pouvez vous m'aider ? Merci !
Bonsoir Blanchecolombe,
pour tout i différent de j, la dérivée seconde du premier terme de f par rapport aux i ème et j ème variables donne 0, et on trouve 12(n+1 - 
xi de i=1 à n )² pour le deuxième terme de f.
Donc si tous les xi valent 1, le résultat vaut 12.
Pour tout i, la dérivée seconde par rapport à la i ème variable uniquement donne par ailleurs 12xi² pour le premier terme, et pareil qu'avant pour le deuxième.
Donc au point A, cela donne 12 + 12 = 24.
Donc ta matrice hessienne contient des 24 sur la diagonale et que des 12 ailleurs, sauf erreur. 
Je ne comprends pas justement comment on trouve les dérivées secondes avec les i en fait :$ Vous pouvez m'expliquer ? Merci
Imagine que tu aies juste deux variables x et y.
f(x,y) = (x^4 + y^4) + (3 - x - y)^4
Dérivée par rapport à x :
4x^3 pour le premier terme
4(3-x-y)^3 .(-1) pour le deuxième, et la somme des deux termes précédents pour la dérivée partielle selon x.
Dérivée par rapport à y de cette dérivée par rapport à x :
le premier terme meurt!
le deuxième rejette un nouveau signe -, et devient donc 12(3-x-y)²(-1)(-1) = 12(3-x-y)².
Donc la dérivée seconde croisée, prise en (1,1) vaut 12, comme annoncé dans mon message précédent.
La dérivée seconde en x est la dérivée en x de la dérivée en x précédemmment trouvée.
Le premier terme donne du 12x²
Le second donne là encore 12(3-x-y)².
La somme des deux en (1,1) donne bien 24.
Convaincue? 
Et tu peux me tutoyer! 
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac