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Niveau Licence Maths 1e ann
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matrice+noyau

Posté par
poupoulinnette
10-10-08 à 21:04

Voici un exercice de maths concernant les matrices.

"On considère l'application linéaire de R^5 dans R^3 de matrice canonique

1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2

Donner une base de son noyau."

Je sais que pour trouver le noyau il faut résoudre le sytème d'équation suivant:

x+2y+3z+4t+5u=0
2x+3y+4z+5t+u=0
3x+4y+5z+t+2u=0

Mais je n'ai pas assez d'équation pour le résoudre, comment faire?
Et je n'ai pas bien compris non plus la notion de base du noyau.

Si quelqu'un pouvait m'aider un peu ce serait gentil.
merci d'avance.

Posté par
otto
re : matrice+noyau 11-10-08 à 01:40

Bonjour,
tu n'as visiblement pas compris ce qu'était un noyau ...
C'est parce que tu as plus d'inconnu que d'équations que ton noyau n'est pas trivial...

Tu n'as pas compris ce qu'est la base du noyau parce que tu n'as pas du comprendre ce qu'est le noyau.

Le noyau est l'ensemble des éléments envoyés sur 0.
C'est un espace vectoriel, donc il possède une base ...

Posté par
poupoulinnette
re : matrice+noyau 11-10-08 à 13:52

OK !
Je trouve donc : u = t
                 y = -2z -12 u
                 x = z +15 u
ce qui me donne le noyau suivant :
noyau = (z+15u,-2z-12u,z,u,u)

je pense donc que la base est : {(1,-2,1,0,0),(15,-12,0,1,1)}
C'est celà non?

Par contre il me demande ensuite de compléter cette base à l'aide des vecteurs de la base canonique e1,e2,e3,e4,e5 et là je ne sais pas du tout comment faire.

Posté par
poupoulinnette
re : matrice+noyau 15-10-08 à 21:29

J'ai pensé à quelque chose mais je ne sais pas si c'est juste.

Pour compléter la base, je prends les vecteurs e3, e4 et e5 en plus de ceux que j'ai trouvé.

j'écrit la matrice suivante :

1 15 0 0 0
-2 -12 0 0 0
1 0 1 0 0
0 1 0 1 0
0 1 0 0 1

et je trouve un déterminant différent de 0, il s'agit donc d'une base.

Ca me parait juste non?

Posté par
poupoulinnette
re : matrice+noyau 17-10-08 à 23:53

Personne n'a d'idée?



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