Hello

Ecris toute matrice de M_n(K) comme somme d'une matrice symétrique et d'une antisymétrique.

Ca doit te faire penser aux fonction paires et impaires ... inspire toi de exp, ch et sh ...

Bon courage.

Bonjour Gui_tou,

En fait, sur des exemples simples, j'arrive pas exemple à trouver les deux matrices de A(K) et S(K) dont la somme est une matrice quelconque donnée. Mais montrer cela avec des inconnues, et pour des matrices de M_n(K), j'avoue avoir du mal à formaliser l'écriture de la démonstration... En gros je sens le résultat mais je ne sais pas comment écrire la démonstration.

Quand tu dis d'écrire tout matrice de M_n(K) comme somme d'une matrice de A_n(K) et d'une matrice de S_n(K), je dois écrire une matrice avec n lignes et n colonnes et remplir quelques emplacements aux extrémités ?... Bref, je bloque.

Les deux matrices s'exprimeront en fonction de la matrice du début

On va le démontrer rigoureusement, par analyse-synthèse.

Soit . Montrons qu'il existe un unique couple tel que

Première étape : Analyse

On suppose que et existent.

Donc

Là, regarde ce que vaut , sans oublier que

Tu as donc un pti système très simple : déduis-en l'expression de A et S en fonction de M

Deuxième : Analyse

Vérifie que A est antisymétrique, que S est symétrique, et que S+A = M.

Et là on a gagné !

D'accord parfait, ça marche très bien comme ça :p

Merci beaucoup de ton aide gui_tou

Tu trouves bien ?

Comme je le disais, on retrouve la même chose chez les fonctions : toute fonction continue (je ne sais pas exactement les hypthèses mais bon on s'en fiche, c'est pour l'analogie) s'écrit comme la somme d'une fonction paire et d'une impaire.

Le cosinus hyperbolique est la composante paire de l'exponentielle ; le sinus hyperbolique la partie impaire ! C'est beau !

Avec plaisir, bon aprèm

Oui c'est cela que j'ai trouvé

D'accord pour le lien avec les fonctions :p

Bon après midi à toi aussi !