Tu prends comme cas particulier pour B la matrice Eij. Ca te conduira a avoir Aij = Aji et A est symétrique. La réciproque se démontre pareil vu que(Eij) génère Mn(K)

Ensuite, si f(AB) = f(BA), AB - BA ker(f) donc AB = BA + M ou M ker(f). En prenant B = Eij, on obtient aij = aji + mij et ce aij at aji donc = 0 et mij = 0. D'ou AB = 0 AB donc f = 0.

Apres la troisieme question me semble tellement triviale que j'ai peur de me tromper. Je ne sais de quelles connaissances on dispose sur les matrices inversible

Bonsoir,
Pour la deuxième question la solution indiqué est fausse, f n'est pas nécessairement nulle la trace fonction... En fait c'est la seule (a multiplication par un scalaire pres)

ben pour le 1) la solution indiquée est fausse aussi :

autant raisonner en terme d'endomorphisme  f°g=g°f  où  f  est l'endo associé à A  et  g  associé à B

f  laisse stable les espaces propres de  g, donc toutes les droites de E  donc f=aI

pour la 2 tu peux montrer d'abord que toute forme linéaire sur les matrices est da la forme  B--->Tr(AB)  (utilise la bilinéarité de  Tr(AB))