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Matrices de permutations

Posté par
Skops 08-10-08 à 23:16

Bonsoir,

Soit P une matrice de permutation d'ordre n avec 4$P=(p_{ij}), 4$p_{ij}=\delta_{\sigma(i),j} et sigma, la permutation.

Calculer 4$P^tP

Une piste s'il vous plait

Skops

Posté par
raymond Correcteurre : Matrices de permutations 08-10-08 à 23:25

Bonsoir.

Il me semble qu'en revenant à la définition du produit :

3$\textrm (P^tP)_{i,j} = \Bigsum_{k=1}^n(P)_{i,k}(P)_{j,k} = \Bigsum_{k=1}^n\delta_{\sigma(i),k}\times\delta_{\sigma(j),k} = \delta_{\sigma(i),\sigma(j)}

Posté par
1emeure : Matrices de permutations 08-10-08 à 23:26

Bonsoir,

il faut se demander à quoi correspond la matrice tP (par rapport à sigma).
Tu devrais alors tout de suite trouver la solution à ton problème (ou sinon, regarde sur des exemples, avec par exemple n=3, tu devrais voir sans trop de difficultés ce qu'il se passe)

1emeu

Posté par
1emeure : Matrices de permutations 08-10-08 à 23:28

zut trop tard

Posté par
Skopsre : Matrices de permutations 08-10-08 à 23:44

Merci

raymond, comment fais tu pour passer de la somme avec les deltas au delta avec les sigmas en indices ?

Skops

Posté par
ottore : Matrices de permutations 09-10-08 à 00:38

C'est quoi la définition d'un produit matriciel ?

Posté par
franzre : Matrices de permutations 09-10-08 à 01:14

Pour compléter l'excellente réponse de Raymond, \delta_{\sigma(i),\sigma(j)}=\{\array{lcc$1\hspace{50}&si&\sigma(i)=\sigma(j)\\0\hspace{50}&si&\sigma(i)\neq\sigma(j) }\.

\sigma étant une permutation (donc une bijection) \{\array{lcc$\delta_{\sigma(i),\sigma(j)}=1&\hspace{50}\Longleftrightarrow\hspace{50}&i=j \\ \delta_{\sigma(i),\sigma(j)}=0&\hspace{50}\Longleftrightarrow\hspace{50}&i\neq j\\ \\ }\.

Donc 4$P^tP=I

Posté par
raymond Correcteurre : Matrices de permutations 09-10-08 à 10:13

Bonjour.

franz a bien conclu. Ceci prouve que tP = P-1

D'ailleurs, si l'on prend une matrice de permutation P, elle peut être vue comme la matrice de passage d'une base

orthonormale à une autre dans IRn muni de son produit scalaire euclidien canonique.

Donc, P est une matrice orthogonale et par suite : tP = P-1

Posté par
Skopsre : Matrices de permutations 09-10-08 à 18:07

Ah oui, j'ai compris aujourd'hui le passage (boulet...)

Merci pour le complément

Skops


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