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Matrices et polynômes

Posté par
Elytinker
02-08-11 à 14:53

bonjour


voici un autre petit exercice :

Soit A une matrice telle que An=0 et B= I+A+A²+...A n-1

1)B est-elle inversible ? Calculer son inverse .

je me demande si je peux déduire de la définition de A qu'elle est nilpotente , même si A^(n-1) différent de zéro n'est pas précisé .

En appliquant la méthode habituelle , je ne trouve pas :

B-(A+A²+...A n-1)= I , je n'arrive à rien

mais si je fais A-1 B = IA^(-1)+ AA^(-1) + A²A^(-1)+...A n-1A =A^(-1)+I+A+...A^(n-2) , bon je n'y parviens pas non plus . Une petite piste ?

2)Montrer qu'il existe un seul polynôme de degré inférieur ou égal à 5 tel que P+P'+...P(5) =X5

là aussi, besoin d'un petit indice .

merci

Posté par
Manu04
re : Matrices et polynômes 02-08-11 à 14:59

Pour la question 1), cela vient d'une formule très importante en maths, qui est utile dans de nombreuses situations : (1-x)(1+x+x^2+\ldots+x^{n-1})=1-x^n. En remplaçant, x par ta matrice A, tu vas trouver.

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Matrices et polynômes 02-08-11 à 15:02

Bonjour,

Pour le 1), inspire toi de la série géométrique en écrivant que B(Id-A) = (Id-A)B = Id - A^n = Id ==> B est inversible, d'inverse Id-A.
2) Écris la matrice associée à ce polynôme.

Posté par
Elytinker
re : Matrices et polynômes 03-08-11 à 16:08

ok ,alors :

1)je ne connaissais pas cette formule ... merci .
2)le polynôme est de degé inférieur ou égal à 5 donc j'écris la matrice dans la base 1 X X3 X4 X5

problème : je ne sais pas ce qu'est P  , donc combien de X pour P , pour P' etc ...

Posté par
Manu04
re : Matrices et polynômes 03-08-11 à 16:51

On considère la base canonique de \mathbb{C}[X] : (1,X,X^2,\ldots,X^5). Dans cette base un polynôme P(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_5X^5 est un vecteur de coordonnées (a_0,a_1,\ldots,a_5).

On a alors P'(X)=a_1+2a_2X+\ldots+5a_5X^4 donc P' a pour coordonnées (a_1,2a_2,3a_3,4a_4,5a_5,0).

Détermine la matrice A, telle que AP=P'

Posté par
Ulusse
re : Matrices et polynômes 05-08-11 à 10:33

Ou sinon, on peut également résoudre l'exercice intelligemment et utiliser le 1) pour prouver le 2).
On se place dans K_5[X], et on considère l'opérateur dérivée D. Alors D^6 = 0. Conclusion ? ...

Posté par
Manu04
re : Matrices et polynômes 05-08-11 à 10:39

Sans blague Ulusse ? Il faut utiliser le 1 ? pas possible ?!
Si tu avais lu ce qui est écris au dessus Ulusse tu aurais vu qu'il s'agit justement de ce que l'on propose tous gros malin.

Posté par
Ulusse
re : Matrices et polynômes 05-08-11 à 12:04

On ne dirait pas. La question est de prouver une existence (et unicité). Il n'y a pas besoin d'exprimer quoi que ce soit dans quelque base que ce soit, c'est même dommageable.
On a l'expression de l'inverse de I +D +D^2 + ... + D^5, à savoir I - D, ce qui suffit à démontrer l'existence et unicité de P.
Si on veut absolument le calculer, il n'y a pas besoin de passer par une base, et il suffit d'inverser notre formule et d'appliquer I-D à X^5, ce qui donne immédiatement X^5 - 5X^4

Après évidemment on peut se compliquer la vie, écrire tout ça dans une base et poser des matrices, mais c'est non seulement plus compliqué, mais inutile.

Posté par
Manu04
re : Matrices et polynômes 05-08-11 à 12:11

La matrice A que je lui propose de trouver est justement la matrice de dérivation que tu appelles peu judicieusement D. Pour quelqu'un qui ne l'a jamais rencontrée il faut évidemment en passer par là pour la découvrir.
En plus tu viens de lui donner le développement qu'il aurait pu trouver seul après les indicaions données. Quel intérêt pour lui ? La pédagogie n'a pas l'air d'être ton fort.

Posté par
Manu04
re : Matrices et polynômes 05-08-11 à 12:12

Ta façon de rentre sur ce topic avec tes gros sabots et ton manque d'humilité, m'a quelque peu échauffé.

Posté par
Elytinker
re : Matrices et polynômes 05-08-11 à 15:50

bonjour ,

merci pour vos réponses , ne pas s'énerver .

Je trouve pour la matrice A ceci :

1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 0 5

Posté par
Manu04
re : Matrices et polynômes 06-08-11 à 11:26

Bonjour,

A devrait être une matrice 6x6 non ? On est dans \mathbb{C}_5[X]
Elle doit plutôt ressembler à \left(\begin{array}{cccccc}0&1&0&0&0&0\\0&0&2&0&0&0\\0&0&0&3&0&0\\0&0&0&0&4&0\\0&0&0&0&0&5\\0&0&0&0&0&0\end{array}\right)

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