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Niveau Maths sup
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Matrices et suites

Posté par
masterrr
01-03-09 à 15:09

Bonjour,

Voici l'exercice que je suis en train de faire. Je bloque sur la conclusion.
Merci d'avance pour votre aide.
_________________________________________________________________________________________________________

Soit 5$ A=\(\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&2&-2&1\\2&2&-3&2\\3&-1&2&0}\).

1. Calculer 5$ (M-I_3)(M+3I_3). En déduire que 5$ M est inversible puis donner son inverse 5$ M^{-1}.

2. Montrer que, 5$ \forall n \in \mathbb{N}^*, \exists (u_n,v_n) \in \mathbb{R}^2 ; M^n=u_nM+v_nI_3. Puis vérfier que 5$ u_{n+1}=-2u_n+v_n et 5$ v_{n+1}=3u_n et en déduire, 5$ \forall n \in \mathbb{N}^*, M^n en fonction de 5$ n.
_________________________________________________________________________________________________________

1. 5$ (M-I_3)(M+3I_3)=0=M^2+2M-3I_3 donc 5$ I_3=M(\frac{1}{3}M+\frac{2}{3}I_3) donc 5$ M est inversible d'inverse 5$ M^{-1}=\(\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&\frac{4}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\2&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\3&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{2}{3}}\).

2. Avec une récurrence sur 5$ n on prouve la propriété et on montre au passage que 5$ u_{n+1} et 5$ v_{n+1} vérifient les relations proposées. Par contre je ne vois pas comment en déduire 5$ M^n ? J'imagine que c'est tout bête vu tout ce qui a été fait juste avant mais je vois pas...

Merci d'avance .

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrices et suites 01-03-09 à 15:15

Bonjour

Je suppose que M=A?

Bon, si tu as fait tout ce qui précède, il te reste à expliciter u_n et v_n

Or tu as

\(u_{n+1}\\ v_{n+1}\)=\(\begin{array}{rr} -2 & 1\\ 0 & 3\end{array}\)\(u_n\\ v_n\)

donc tout se ramène au calcul de la puissance n-ème de la matrice 22 ci-dessus.

Posté par
masterrr
re : Matrices et suites 01-03-09 à 15:53

Oui A=M : faute de frappe désolé...

Je n'arrive pas à généraliser le calcul de la matrice 2x2...

Et il faut inverser les coefficients de la deuxième de la matrice que vous avez donnée.

Posté par
masterrr
re : Matrices et suites 01-03-09 à 16:11

Je ne comprends pas le principe... Est-ce que vous pourriez me l'expliquer s'il vous plaît ?

Ou me montrer le début pour que je comprenne un peu mieux et que puisse terminer seul ensuite.

Merci d'avance.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrices et suites 01-03-09 à 16:13

Oui, tu as raison on veut les puissances de

\(\begin{array}{rr} -2 & 1\\ 3 & 0\)

Elle est diagonalisable de valeurs propres 3 et -1.

Posté par
masterrr
re : Matrices et suites 01-03-09 à 17:03

Je ne vois pas où vous voulez en venir...

J'ai trouvé deux matrices P et Q inversibles telles que la matrice précédente (notons-la A) vérifie : QAP=Jr. Est-ce de ça dont vous parliez ? Si oui comment utiliser ce résultat, sinon que fallait-il faire ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrices et suites 02-03-09 à 14:22

Il s'agit de trouver une matrice inversible P telle que
P^{-1}\(\begin{array}{rr}-2 & 1 \\ 3 & 0\end{array}\)P=\(\begin{array}{rr}1 & 0\\ 0 & -3\end{array}\)

(Calculs refaits, les valeurs propres sont 1 et -3)
On a alors

\(\begin{array}{rr}-2 & 1 \\ 3 & 0\end{array}\)^n=P\(\begin{array}{rr}1 & 0\\ 0 & (-3)^n\end{array}\)P^{-1}

Posté par
milton
re : Matrices et suites 02-03-09 à 14:38

salut
v_{n+2}+2v_{n+1}-3v_n=0 avec les deux premier terme ca peut aller

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrices et suites 02-03-09 à 14:57

Bonjour milton

Ca aussi c'est une idée...

Posté par
milton
re : Matrices et suites 02-03-09 à 15:04

bonjour camelia



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