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Mélanges de suite et ... inégalités ^^

Posté par
olive_68 14-09-09 à 22:02

Bonjour à tous

Bon un petit exos qui me tracasse un peu,

Citation :
Soit 3$(x_n)_{n\ge 1} une suite de nombres réels positif (Strictement). On lui associe les suites 3$(a_n)_{n\ge 1} et 3$(g_n)_{n\ge 1} les suites définies par :

3$\fbox{a_n=\fr{1}{n}\[\Bigsum_{i=1}^n \ x_i \ \] et 3$\fbox{g_n=(\Bigprod_{i=1}^n \ x_i)^{\fr{1}{n}}

Bon étudier le cas ou 3$(x_n)_{n\ge 1} est constante, on devait expliciter les deux autres suites (C'est fait, elles sont égales et valent 3$x_1^)

Ensuite j'ai montré que 3$\fbox{4uv=(u+v)^2-(u-v)^2 \ \ \ u,v \in \bb{R}^*_+

Et que 3$\fbox{uv\le \(\fr{1}{2}(u+v)\)^2 (Cas d'égalité si 3$\red u=v)

Ensuite que 3$u_1v_1u_2v_2\le \(\fr{1}{4}(u_1+v_1+u_2+v_2)\)^4 \ \ \ \ u_1,u_2,v_1,v_2\in \bb{R}^*_+ (D'ailleurs si vous voyer une solution plutôt rapide qui évite de dévelloper la bête je suis preneur )


Maintenant problème ...

Citation :
Démontrer que pour tout entier naturel 3$m, on a 3$a_{2^m}\ge g_{2^m}, et donner une condition nécessaire et suffiante pour qu'il y ait égalité ^^ (La deuxième partie de réponse ne pose pas problème ..)


\to Ca sent la récurrence mais Je suis un peu en stress devant ça (En plus je sens bien qu'il faut utiliser la question précédente qui illustre la chose au rang 4 .. Faudrait-il itérer la méthode de la question d'avant pour réussir à montrer la chose ?)

Un grand Merci d'avance (L'exercice n'est pas fini j'aurais sans doute encore besoin de vous ^^ On vera déjà si je sèche pas trop )

(Sorry si j'ai pas posé dans la bonne section du forum mais je ne sais pas vraiment dans quoi le mettre sinon )

Posté par
miltonre : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 14-09-09 à 22:08

salut olive
j'ai une methode qui donne directement le resultatla moyenne ari est toujours superieure à celle géometrique);mais c'est sans recurence

Posté par
olive_68re : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 14-09-09 à 22:15

Salut milton

Bah enfait ce résultat je l'avais déjà montré en exercice mais je ne pense pas que je puisse le balancer comme ça (Déjà on a pas vu ça du tout en cours cette année pour l'instant (Notions d'injectivité et ce qui va avec) et en plus pourquoi on me ferait utiliser le 2^m ?)

Merci de ta réponse

Posté par
miltonre : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 14-09-09 à 22:19

ok
alors je

Posté par
yoyodadare : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 14-09-09 à 22:34

Bonsoir,

peut-être une piste pour la récurrence:

démontrer que a_{2^{m+1}} \ge g_{2^{m+1}} équivaut à:

\frac{1}{2}.[\frac{1}{2^m}.\sum_{i=1}^{2^m}x_i+\frac{1}{2^m}\sum_{j=2^m+1}^{2^{m+1}}x_j] \ge [(\Pi_{i=1}^{2^m}x_i)^{\frac{1}{2^m}}.(\Pi_{j=2^m+1}^{2^{m+1}}x_j)^{\frac{1}{2^m}}]^{1/2}

Soit [\frac{1}{2}.[\frac{1}{2^m}.\sum_{i=1}^{2^m}x_i+\frac{1}{2^m}\sum_{j=2^m+1}^{2^m+1}x_j]]^2 \ge [(\Pi_{i=1}^{2^m}x_i)^{\frac{1}{2^m}}.(\Pi_{j=2^m+1}^{2^{m+1}}x_j)^{\frac{1}{2^m}} ]
Ce qui ressemble aux inégalités montrées précédemment.
Je continue de chercher

Posté par
miltonre : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 14-09-09 à 23:24

j'ai une autre piste par recurence mais je ne trouve toujours où utiliser ton inegalite

Posté par
Ksilverre : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 14-09-09 à 23:37

Salut !

montrer que ak>=gk c'est montrer que la moyenne arithmétique de k thermes est plus grande que la moyenne géométrique de ces k thermes.

les question préliminaire te donne donc les cas ou k vaut 2 ou 4... l'idée est qu'en fait tu aurais du pour prouver le cas 4 utiliser deux fois le cas 2 plutot que de repartir de zéros... et de facon similaire, en utilisant le cas 2 et le cas 2^n tu va obtenir le cas 2^(n+1) (cf le post yoyodada pour les détails technique si tu ne parviens pas à le faire ^^)

Posté par
olive_68re : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 17-09-09 à 17:56

Bonjour

Me revoilà pour ce topic Merci beaucoup à tous pour vos réponses ! Je vais essayer de bien le post de yoyodada pour les détails

Je vous tiens au courant

Posté par
girdavre : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 17-09-09 à 18:03

Il me semblait bien que ça me disais quelque chose: preuve de cauchy

Posté par
olive_68re : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 17-09-09 à 18:05

Salut girdav

Ah nickel !! Merci beaucoup, je vais voir si je comprends bien tout

Posté par
girdavre : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 17-09-09 à 18:08

Salut olive_68
C'est une preuve élégante de cette inégalité. Je ne crois pas qu'il aie été achevésur ce topic, donc tu aura le plaisir de le finir.

Posté par
olive_68re : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 17-09-09 à 19:47

Je continue ici avec les notations de mon exercice

3$\fbox{\(x_1\cdots x_{2^{m+1}}\)^{\fr 1{2^{m+1}}}=\sqrt{\(x_1\cdots x_{2^m}\)^{\fr 1{2^m}}\(x_{2^m+1}\cdots x_{2^{m+1}}\)^{\fr 1{2^m}}} \leq \frac{\(x_1\cdots x_{2^m}\)^{\fr 1{2^m}}+\(x_{2^m+1}\cdots x_{2^{m+1}}\)^{\fr 1{2^m}}}2

Si j'applique autant de fois qu'il faut la même méthode que tu as utiliser je dois arriver "directement" au fait que 3$g_{2^{m+1}}\le \fr{\Bigsum_{k=1}^{2^{m+1}} \ x_k}{2^{m+1}} non ?

Merci beaucoup pour l'aide que vous m'apportez

Posté par
olive_68re : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 17-09-09 à 20:35



Posté par
yoyodadare : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 17-09-09 à 20:49

Re

En partant de ta dernière inégalité, à savoir:

\sqrt{(x_1...x_{2^m})^{\frac{1}{2^m}}.(x_{2^m+1}...x_{2^{m+1}})^{\frac{1}{2^m}}}\le \frac{(x_1...x_{2^m})^{\frac{1}{2^m}}+(x_{2^m+1}...x_{2^{m+1}})^{\frac{1}{2^m}}}{2}

Tu sais (hypothèse de récurrence) que (x_1...x_{2^m})^{\frac{1}{2^m}} \le \frac{x_1+...+x_{2^m}}{2^m}
et que (x_{2^m+1}...x_{2^{m+1}})^{\frac{1}{2^m}} \le \frac{x_{2^m+1}+...+x_{2^{m+1}}}{2^m}
Alors \frac{(x_1...x_{2^m})^{\frac{1}{2^m}}+(x_{2^m+1}...x_{2^{m+1}})^{\frac{1}{2^m}}}{2} \le \frac{x_1+...+x_{2^m}+x_{2^m+1}+...+x^{2^{m+1}}}{2.2^m} et la récurrence est finie.

Mais était-ce bien là ta question ?

Posté par
olive_68re : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 17-09-09 à 20:56

Ben la question de mon dernier poste est en gros comment expliquer ce passage, 3$(x_{2^m+1}...x_{2^{m+1}})^{\frac{1}{2^m}} \le \frac{x_{2^m+1}+...+x_{2^{m+1}}}{2^m} puisque ce n'est pas directement l'hypothèse de récurrence :S

Donc je me demandais si couper 3$(x_{2^m+1}...x_{2^{m+1}})^{\frac{1}{2^m}} en deux produit ayant le même nombre de termes pour réitérer la méthode utiliser dans la question 2 ..

Merci beaucoup, ça m'aide bien franchement (Et ça change des exos niveau terminale que j'avais l'habitude de faire ^^)

Posté par
olive_68re : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 17-09-09 à 20:58

(Euh sinon pour le reste de ce que tu as poster c'est bien ce que j'avais l'intention de faire si j'étais arrivé à transformer de la façon dont tu le fait ce que j'ai écris dans mon message précédent )

Posté par
girdavre : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 17-09-09 à 21:28

Si, c'est bien l'hypothèse de récurrence car on a bien 2^n réels positifs, aussi bien dans la première partie du produit que dans la deuxième.

Posté par
yoyodadare : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 17-09-09 à 21:29

En fait je pense que pour ta question, il s'agit dans un sens plus large de montrer que pour toute famille de 2^m réels positifs (m\in\mathbb{N}) on a :
(x_1...x_{2^m})^{\frac{1}{2^m}} \le \frac{x_1+...+x_{2^m}}{2^m}

Ainsi, que cela soit pour la famille \{x_1,...,x^{2^m}\}, ou pour la famille \{x_{2^m+1},...,x^{2^{m+1}}\}, l'inégalité reste vraie puisque les deux familles étant de taille 2^m.

Posté par
olive_68re : Mélanges de suite et ... inégalités ^^ 17-09-09 à 21:46

Ah mais oui !! J'avais pas capté qu'il y a aussi 2^m termes dans les deux parties

Merci énormément Je vais essayer de finir seul l'exercice


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