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methodes des residus
Posté par janette
Bonjour à tout , je souhaiterais vous soumettre 3 calculs issues d'un devoir maison que je n'arrive pas à mener à bien malgré la necessité d'y parvenir,il s'agit d'une matière de maths peu etudiés,j'espère qu'il existe sur ce forum une personne qui sera en mesure de m'aider .
je vous donne l'enoncé :
calculer par la methode des résidus l'integrale de Wallis In ={integrale de 0 à pi/2(coS^(2n)tdt]
montrer que pour tout z appartenant à C
lim(n tend vers + infini) (1+z/n)^n=e^z
Calculer les residus de la fonction
f(z)=cotanz/z^2= cos z/(z^2sinz)
Je suis desolé d'ecrir de manière literale les expressions mathématiques!merci d'avance
Bonjour,
pour la 2 ca ne me semble pas vraiment difficile, on aurait envie de prendre le log, on sait que l'on ne peut pas vraiment dans C, mais on peut quand même trouver une astuce pour s'y ramener ...
Sinon tu connais deja la résultat dans R, vois comment tu peux le récupérer (faut-il utiliser les résidus ici ? je ne vois pas bien comment si c'est le cas ...).
Pour la dernière question, ce n'est pas compliqué, tu as des singularités en tous les multiples de pi, on voit facilement que comme cotan est périodique, il suffirait normalement d'étudier une seule singularité.
Ici on voit que f(z) est 1/z^2 . cotan(z) ce qui modifie légèrement la donne. En fait il suffit de calculer seulement 2 résidus, celui en 0 qui manifestement sera différent des autres, et les autres...
Pour étudier ce qui se passe en 0, il suffit de faire un développement en série de Laurent.
Pour étudier en les autres points, on remarque que le 1/z^2 ne joue aucune role, on peut donc ne pas s'en soucier dans le développement en série de Laurent et l'ajouter ensuite.