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Montrer qu'une suite est décroissante

Posté par
TheDoci
25-01-09 à 20:55

Bonjour,

Je dois réviser pour un DS et j'ai un problème pour montrer qu'une suite est décroissante et minorée par 0.

Voici la suite
U0 = 1/2
Un+1 = (Un)^2  + 3/16

J'ai essayé Un+1 - Un mais ça ne me mène nulle part. Idem pour (Un+1)/Un

Pire, en posant Un+1 = f(Un) = (Un)^2  + 3/16
j'ai f'(x) = 2*Un
Et l'étude de signe montre que sur [0 ; +infini[ f(Un) est croissante !!

J'ai bien vérifié sur ma calculette, la suite est décroissante.

Quelqu'un a une idée svp ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Montrer qu'une suite est décroissante 25-01-09 à 21:05

Essayes d'abord de montrer par récurrence que pour tout n , u_n\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}] sauf erreur bien entendu

Posté par
TheDoci
re : Montrer qu'une suite est décroissante 25-01-09 à 21:28

En fait je ne vois pas pourquoi cet intervalle. 1/4 voie peut-être (1/2² ?), mais pas le 3/4

Posté par
TheDoci
re : Montrer qu'une suite est décroissante 25-01-09 à 21:30

et d'ailleurs, j'ai oublié de demander, pourquoi le raisonnement que j'ai fait avec f(x) est faux ? Ca marche bien pour d'autres exos d'habitude...

(Désolé pour le double post, j'ai pas trouvé de fonction éditer)

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Montrer qu'une suite est décroissante 26-01-09 à 00:53

Allons y

\fbox{*} c'est vrai pour n=0 vu que u_0=\frac{1}{2}\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}].

\fbox{*} supposons u_n\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}] alors u_n^2\in[\frac{1}{16},\frac{9}{16}] et donc u_n^2+\frac{3}{16}\in[\frac{4}{16},\frac{12}{16}] c'est à dire u_{n+1}\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}] récurrence terminée avec succés

\fbox{*} pour tout n\in\mathbb{N} on a u_{n+1}-u_n=u_n^2-u_n+\frac{3}{16}=(u_n-\frac{1}{4})(u_n-\frac{3}{4})\le0

notre suite est donc bien décroissante et comme elle est minorée (par \frac{1}{4} par exemple)

elle converge vers un réel \ell\in[\frac{1}{4},\frac{1}{2}] et vérifiant \ell=\ell^2+\frac{3}{16} ... sauf erreur bien entendu

Posté par
TheDoci
re : Montrer qu'une suite est décroissante 26-01-09 à 21:15

Merci pour tout

Posté par
TheDoci
re : Montrer qu'une suite est décroissante 26-01-09 à 21:17

Désolé encore une fois du double post, mais pourquoi la méthode avec f(x) ne marche-t-elle pas ici ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Montrer qu'une suite est décroissante 26-01-09 à 22:01

Si elle marche ! Il fallait tout simplement ( après avoir prouvé la croissance de f sur [0,+\infty[ )

justifier que tous les u_n sont dans [0,+\infty[

puis comparer u_0 et u_1 pour pouvoir déterminer la monotonie de la suite (u_n)

et comme u_1=u_0^2+\frac{3}{16}=\frac{1}{4}+\frac{3}{16}=\frac{7}{16}\le\frac{1}{2}=u_0 on a u_2=f(u_1)\le f(u_0)=u_1 ...

et une petite récurrence donne u_{n+1}\le u_n pour tout n sauf erreur bien entendu

Posté par
TheDoci
re : Montrer qu'une suite est décroissante 26-01-09 à 22:18

Euh je ne comprends pas vraiment
Voila le tableau de signe que j'obtiens (image attachée)
J'ai u_{n+1} = f(u_n) qui est croissante sur [0 ; +infini[ alors que je dois montrer qu'elle est décroissante
Par contre je comprends bien que tous mes u_n sont sur [0 ; +infini[

Montrer qu'une suite est décroissante

Posté par
TheDoci
re : Montrer qu'une suite est décroissante 27-01-09 à 11:24

up svp, je ne comprends toujours pas comment une suite peut être décroissante alors que la fonction est croissante

Posté par
Camélia Correcteur
re : Montrer qu'une suite est décroissante 27-01-09 à 14:58

Bonjour

Tout simplement, u_0=1/2 Il se trouve que u_1=f(u_0)=7/16 < u_0, ce qui n'a rien de contradictoire! A partir de là, la croissance de f impose u_1 < u_0\Longrightarrow u_2=f(u_1) < f(u_0)=u_1...

Posté par
TheDoci
re : Montrer qu'une suite est décroissante 27-01-09 à 15:23

ah d'accord, je comprends mieux merci

Donc en fait cette méthode (de l'étude de signe par la fonction) n'est pas très utiles, puisqu'il faut quand même faire une récurrence après.
Mieux vaut faire la méthode de elhor_abdelali

Posté par
Camélia Correcteur
re : Montrer qu'une suite est décroissante 27-01-09 à 15:27

En fait elhor (que je salue ) utilise aussi la croissance de f qu'il redémontre implicitement. Ce qu'il faut retenir, c'est que si f est croissante, le sens de variation de la suite ne dépendra que de la position de u_1 par rapport à u_0.

Posté par
TheDoci
re : Montrer qu'une suite est décroissante 27-01-09 à 15:33

D'accord, donc comme c'est vachement plus simple sans récurrence je vais étudier les signes alors^^

Merci pour votre aide

Posté par
Camélia Correcteur
re : Montrer qu'une suite est décroissante 27-01-09 à 15:40

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Montrer qu'une suite est décroissante 27-01-09 à 23:31

Salut Camélia

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