Inscription / Connexion Nouveau Sujet
" Montrer que pour tout .. " etc 
Bonjour à tous ! 
Alors je bute sur un exercice qui je suis sûr est tout simple mais bon ... :
Montrer que pour tout x de [ 0, +infini [ , x ≤ ln ( 1 + exp ( x ) ) ≤ x + ln 2
Je sais que LN est définie sur ] 0, + infini [ et exp est définie sur R mais je vois pas en quoi ça aide...
Merci beaucoup d'avance!!
Ce que je ne comprends pas c'est par quoi commencer en fait.. je comprends pas exactement ce qu'on doit prouver ..
Je sais que 1 + exp ( x ) doit être supérieur à 0 ..
Bonsoir.
Alors il est évident que .
Donc par croissance de ln :
Allez, je te laisses faire l'autre inégalité :p
.Merci à tous les deux déjà de votre réponse !!
Ma réponse pour William : J'ai pas compris ce que voulais dire " par croissance de ln " ? lol désolé :/
Je comprends ta première expression mais je ne comprends pas la deuxième.. Et quelle autre inégalité ? je suis assez perdue je dois dire désolé :/
Ma réponse pour LeDino : => Ln( e^x ) est forcément plus petit, inférieur que ln ( 1 + e^x )
=> Ln ( 1 + e^x ) semble inférieur à ln ( 2. e^x ) ??
Je comprends pas d'où viennent le choix de ces comparaisons ? Je comprend pour ln( 1 + e^x ) car c'est dans l'énonce mais les autres je comprends pas trop pourquoi.. ( oui je suis très nulle en maths, pas d'étonnements LOL )
merci beaucoup de l'aide en tout cas j'en ai vraiment besoin XD
Merci à tous les deux déjà de votre réponse !!
Ma réponse pour William : J'ai pas compris ce que voulais dire " par croissance de ln " ? lol désolé :/
Je comprends ta première expression mais je ne comprends pas la deuxième.. Et quelle autre inégalité ? je suis assez perdue je dois dire désolé :/
Ma réponse pour LeDino : => Ln( e^x ) est forcément plus petit, inférieur que ln ( 1 + e^x )
=> Ln ( 1 + e^x ) semble inférieur à ln ( 2. e^x ) ??
Je comprends pas d'où viennent le choix de ces comparaisons ? Je comprend pour ln( 1 + e^x ) car c'est dans l'énonce mais les autres je comprends pas trop pourquoi.. ( oui je suis très nulle en maths, pas d'étonnement LOL )
merci beaucoup de l'aide en tout cas j'en ai vraiment besoin XD
Rassure-nous : tu comprends que t'es en train de faire un exercice ?
Et que nous on te donne des indications que tu peux suivre pour y arriver ?
Bon, je dois paraître vraiment cruche, alors que quand même je suis pas nunuche à ce point là!
Oui j'ai bien compris mais c'est juste que je suis NULLE en maths donc là pour le coup je comprends pas trop votre raisonnement en fait ... c'est juste çà.. moi je suis motivée pour comprendre hein y a pas de soucis mais bon ..
Oui je sais que vous me donnez des indications non mais roh x)
Ln( e^x ) est forcément plus petit, inférieur que ln ( 1 + e^x )
Et que vaut Ln(e^x) ?
Ne peux-tu pas en déduire l'inégalité de gauche ?
Après pour celle de droite c'est quasiment pareil.
Oui bon passons LOL
Du coup ma réponse à ta réponse t'en pense quoi ? xD ( je retourne à nos moutons quand même ) x)
par croissance de la fonction exp ...
il suffit alors de prendre le logarithme de chaque côté (connaissant ses variations)
....
J'ai lu tout ce que tu as écrit.
Si j'étais d'accord avec je l'aurais dit.
Et donc si je te repose une question, c'est parce que je pense judicieux que tu y répondes.
Et si toi tu réponds à mes questions par des questions, dans trois jours on y est encore.
Donc je répète (une dernière fois) :
Sachant que ln(e^x) < ln(1+e^x)
Et sachant ce que vaut Ln(e^x)
... Ne peux-tu pas en déduire l'inégalité de gauche ?
Comment ça que vaut Ln ( e^x ))? Moi pas comprendre T_T Parce que la on peut donner une valeur précise vu que x peut être compris entre 0 et + infini .. d'où mon incompréhension .. lol
L'inégalité de gauche ? La encore, mon petit cerveau n'arrive pas à comprendre, bien que je conçois que ce que tu me demandes en soi n'a pas l'air très compliqué LOL quand tu dis inégalité de gauche c'est elle : " x inférieur ou égal à ln ( 1 + e(x) ) " ?
Et l'inégalité de droite pour toi c'est ln(1+ e( x) ) inférieur ou égal à x + ln2 ?
Oublie l'intrusion de carpediem pour l'instant : elle concerne l'inégalité de droite : tu la traiteras plus tard...
Il y a un malentendu, j'avais posté la réponse où je te dis " bon passons " avant que tu me dises ta réponse .. ( malentendu )
Comment ça que vaut Ln ( e^x ))? Moi pas comprendre T_T Parce que la on peut donner une valeur précise vu que x peut être compris entre 0 et + infini .. d'où mon incompréhension .. lol
Moi je pense plutôt que sur ce coup tu as oublié de réfléchir.
Que vaut ln(exp(x)) ?
Question d'une trivialité presque obscène tellement elle crève les yeux...
Punaise, non mais je rêve tu veux m'aider ou me rabaisser là ? Je conçois que tu prends du temps pour essayer de m'aider ça je te remercie beaucoup, mais ça ne veut pas dire que je vais te laisser me traiter d'incapable ( en gros ) non plus -_-.
C'est des fonctions réciproques? ( graphiquement ):s ou je sais pas ...
Je ne te rabaisse pas : je te botte le cul .
C'est plutôt pour élever en général...
Bon fais moi confiance ou dis moi de me casser et je sors.
mais si tu bosses avec moi, tu fais comme je dis. OK ?
Donc OUI elles sont réciproques.
Donc ne peux tu pas simplifier l'écriture de ln(exp(x)) ?
Et pour rappel, ta cible :
Ta double inégalité à démontrer : x ≤ ln(1 + exp(x)) ≤ x + ln 2
Inégalité de gauche : x ≤ ln(1 + exp(x))
Inégalité de droite : ln (1 + exp(x)) ≤ x + ln 2
Ah je viens de trouver sur le net : ln (exp ( x )) = x
Mais tu vois l'énormité de ce que tu viens d'écrire ?
Tu as besoin du net pour trouver ça ?
Bon OK, passons.
Est-ce que tu peux conclure à présent ?
Non je ne peux pas conclure parce que je ne comprends toujours pas ...
Est ce que cela veut dire que je peux remplacer les x par ln(e^x)?
Par exemple : ln(e^x ) inférieur/égal ln ( 1+e^x) inférieur égal ln(e^x ) + ln2 ?
J'avoue que si c'est pas ça, je suis toujours perdue désolé...
C'est parce que tu fais un blocage.
OK je te montre le "truc" pour l'inégalité à gauche.
Et toi tu promets de faire la démarche de résoudre l'inégalité de droite SEULE comme une brave fourmi pas fainéante.
exp(x) < 1 + exp(x)
==> ln(exp(x)) < ln(1+exp(x))
==> x < ln(1+exp(x))
Maintenant vérifie ce que tu devais démontrer.
Et là tu fais : OUPS ! Mais c'était trop évident...
Désolé c'est le temps que je réfléchisse oui oui que je réfléchisse malgré la facilité pour toi de faire cette exercice !
Du coup est ce que ça fait :
ln( 1 + e(x) ) < ln ( e^x ) + ln ( 2 )
ln ( 1 + e(x) ) < x + ln ( 2 ) ?
J'ai l'impression c'est pas ça du tout hum fin j'ai juste appliquer ta démonstration mais fin je sais pas ..
ln( 1 + e(x) ) < ln ( e^x ) + ln ( 2 )
ln ( 1 + e(x) ) < x + ln ( 2 ) ?
J'ai l'impression c'est pas ça du tout hum fin j'ai juste appliquer ta démonstration mais fin je sais pas ..
Tu ne veux pas qu'on règle l'inégalité à gauche avent de te jeter sur celle de droite ?
As-tu compris la solution que je t'ai donnée pour la partie gauche ?
Dans ta démonstration de la partie droite, c'est presque ça... sauf qu'il manque l'essentiel : le point de départ
Je repasserai plus tard.
Ou sinon, les camarades William ou carpediem vont prendre le relai...
A plus tard et bon courage...
... tu brules !
Ah mais je croyais que c'était déjà résolu moi celle de gauche ( je sais, tu dois te dire que c'est une blague, que je le fais exprès mais non ... ).
Oui j'ai compris ce que tu as fais pour l'inégalité de gauche, tu as remplacé x par ln( e^x)..
Je ne comprends pas ce qu'il faut faire encore vu que de toute manière ln( e^x ) est forcément inférieur à ln( 1 + e(x ) ) d'où x êtant pôsitif forcément inférieur à ln ( 1 + e^x ) ..
J'avoue que je bloque.. je comprendrai si tu voudrais laisser tomber hein x.x
Pour la gauche tu as compris ce qui bloquait : ln(exp(x) = x OK.
Mais ça ne suffit pas : il faut prendre un point de départ qui va bien pour arriver au résultat ciblé :
A gauche, le bon "point de départ" c'est : exp(x) < 1 + exp(x)
Parce qu'après en prenant le LOG de chaque terme on peut dérouler :
==> ln(exp(x)) < ln(1+exp(x))
==> x < ln(1+exp(x))
---
Le "truc" c'est de voir de quoi il faut partir pour arriver à ta cible.
Donc si tu piges ça, essaies de trouver le bon point de départ pour prouver l'inégalité de droite.
Ca a déjà été dit dans ce qui précède...
Mais tu peux le trouver toi même.
En fait ce que je ne comprends pas c'est pourquoi e^x < 1 + e^x serait le point de départ en fait ..
Fin la en voyant l'inéquation de droite je me serais pas dit ça fin je sais pas si tu vois ce que je veux dire ..
je suis un cas désespéré lol
En fait ce que je ne comprends pas c'est pourquoi e^x < 1 + e^x serait le point de départ en fait ..
Fin la en voyant l'inéquation de droite je me serais pas dit ça fin je sais pas si tu vois ce que je veux dire ..
je suis un cas désespéré lol
.
Je crois que ton problème c'est que tu veux absolument comprendre la globalité d'un seul coup.
Commence dans un premier temps par comprendre la DEMONSTRATION.
Pour cela, accepte l'aide qu'on te donne en te livrant sur un plateau les bons points de départ (celui de gauche et celui de droite).
Ensuite, une fois que tu auras compris l'enchainement et qu'il n'y aura plus de doute dans ton esprit sur l'équivalence entre point de départ et point d'arrivée... tu pourras prendre du recul et te demander comment William, carpediem et moi nous avons fait pour "deviner" ces points de départ.
Quand tu en seras là, tu verras probablement que nous sommes simplement partis du résultat final (qui n'est pas évident), et que nous avons remonté le film en arrière image par image... jusqu'à trouver un point où l'inégalité est évidente. Et là c'est gagné : on a trouvé le point de départ.
Bon.
Est-ce que tu veux bien refaire la démonstration pour la partie gauche ?
Donne-la en expliquant ce que tu as compris.
Ensuite on pourra essayer de remonter le film à l'envers...
OK ?
En fait ce que je ne comprends pas c'est pourquoi e^x < 1 + e^x serait le point de départ en fait...
Pour trouver ce point de départ, il faut un peu d'astuce.
Dès que tu auras redonné la démonstration en l'expliquant bien, je te dirai comment "trouver" cette astuce.
Bon voilà ce que j'ai compris en essayant de relire les messages lol ! merci encore !!! Et oui j'avoue que j'aime bien comprendre tout de suite en général xD
x < ln ( 1 + exp ( x) ) < x + ln 2
x peut s'écrire ln(e^x)
Pour vérifier si l'inégalité est correcte on prends petit à petit :
( on remplace x par ln ( e^x )) : ln ( e^x ) < ln ( 1 + e^x )
Ensuite pour voir si l'inégalité est bonne on vérifie bien que ln ( e^x ) est inférieur à ln ( 1 + e^x )
On a Ln des deux côtés donc il faut s'intéresser à ce qu'il y a dans la parenthèse pour savoir ce qui est le plus petit
e^x est forcément plus petit que e^x auquel on ajoute 1
donc cette première partie de l'inégalité est bonne
Voilà voilà... en tout cas c'est ce que j'ai compris
salut,
une autre voie possible peut-etre plus rapide ( )
soit f(x)=ln(1+e^x)-x
1/ calculer f'(x). Quel est son signe ?
2/ dresser le tableau des variations de f sur [0;inf[
3/ calculer f(0)
4/ trouver la limite de f en +inf
5/ conclure
x < ln ( 1 + exp ( x) ) < x + ln 2
x peut s'écrire ln(e^x)
Pour vérifier si l'inégalité est correcte on prends petit à petit :
( on remplace x par ln ( e^x )) : ln ( e^x ) < ln ( 1 + e^x )
Ensuite pour voir si l'inégalité est bonne on vérifie bien que ln ( e^x ) est inférieur à ln ( 1 + e^x )
On a Ln des deux côtés donc il faut s'intéresser à ce qu'il y a dans la parenthèse pour savoir ce qui est le plus petit
e^x est forcément plus petit que e^x auquel on ajoute 1
donc cette première partie de l'inégalité est bonne
Voilà voilà... en tout cas c'est ce que j'ai compris
C'est un peu laborieux dans l'explication...
... mais ça se comprend dans la mesure où tu ne fais pas une démonstration mais une tentative de "démontage du mécanisme intellectuel".
Il semblerait que tu aies à peu près compris. Pour savoir si tu as VRAIMENT compris, il n'y a que toi qui peux le dire.
Je vais reformuler la démarche intellectuelle, qui se fait "au brouillon".
Ensuite j'écrirai la démonstration.
Au brouillon (ou dans ma tête si je suis "à l'aise") :
Je veux prouver : x < ln ( 1 + exp(x) )
Je m'aperçois qu'en prenant l'exponentiel de chaque coté j'obtiendrai exp(x) à gauche et 1+exp(x) à droite.
Le terme de gauche est clairement plus petit, donc c'est gagné j'ai trouvé mon point de départ.
Donc maintenant je peux faire ma démonstration.
Démonstration (sur le papier...) :
Pour tout x réel : exp(x) < 1 + exp(x) :: point de départ trouvé au brouillon
La fonction logarithme est croissante, donc elle respecte l'ordre :
==> ln(exp(x)) < ln(1+exp(x))
==> x < ln(1+exp(x))
Est-ce que comme ça c'est plus clair ?
A la fois sur la démonstration.
Et aussi sur la façon de trouver le point de départ ?
Si c'est OK, essaie de faire la même chose pour l'inégalité à droite (après avoir confirmé)
Oui ok j'ai bien compris, merci!
Le point de départ je comprends et la démonstration également.. thanks!!!!
Du coup, pour la deuxième inégalité voilà ce que je trouve :
ln ( 1 + e^x ) < x + ln2
ln ( 1 + e^x < ln e^x + ln2
ln ( 1 + e^x ) < ln ( e^x x 2 )
ln ( 1 + e^x ) < ln ( 2e^x )
1 + e^x < 2e^x
1 < e^x
Je suis un peu perdue, j'arrive pas à faire sortir un x comme on a fait dans la première :/
salut,
une autre voie possible peut-etre plus rapide (
)
soit f(x)=ln(1+e^x)-x
1/ calculer f'(x). Quel est son signe ?
2/ dresser le tableau des variations de f sur [0;inf[
3/ calculer f(0)
4/ trouver la limite de f en +inf
5/ conclure
Salut! euh, ce que ne je ne comprends pas c'est en quoi ça inclue la deuxième inégalité à droite ??? :/
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac