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Morphisme de groupes de Lie
J'aurais besoin de montrer que le morphisme de groupe de Lie
qui à associe
tel que
(Où H est l'ensemble des matrices hermitiennes)
est surjectif. Bon, j'y ai évidemment réfléchi pas mal, cela me semble pas évident, auriez vous un lien qui montre ça de manière algébrique (le montrer avec la dérivée est faisable mais vraiment pas agréable).
On a que le noyau de ce morphisme est (Id, -Id), donc si je montre la surjectivité, je montre le revêtement.
Si quelqun avait une référence à me donner, je lui serais reconnaissant, merci!
Bonsoir,
Déja je comprends pas du tout ton morphisme de groupe de Lie... f_P n'est pas dans S0(1,3)... enfin ça depend de H qui a priori est de dimension n(n+1)/2, qui ne sera jamais de dimension 4...
je ne comprends pas bien non plus mais pour trouver des reponses a ce genre de questions regarde
Perrin cours d'algebre
ou
Mneine Testard
cherche aussi du coté des quaternions presentés comme matrice de SL(2,C) qui sont en lien etroit avec SO(3)
il y a des papiers sur le sujet sur le site de l'agreg de rennes 
dans les documents
complements quaternions et rotations d'Y.Coudène
En fait on peut définir les matrices hermitiennes Comme des matrices X, à coefficients dans 
, de paramètres réels x,y,z,t telles que , soit la métrique dans
, donc on définit
comme les applications de H dans H qui préserve le déterminant. Ensuite on fait l'application que je vous ai donnée (elle est bien dans
(le determinant de
est le même que celui de
, il se trouve que cette application, par des arguments de continuité connexité va aller dans
qui est la composante connexe de l'identité de
. Il me faut montrer qu'elle est injective dans
. Mais cette application est bien définie me semble -t-il.
http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_group
Pour la définition des hermitiennes, section "Relation to the moebius group".
Merci de votre aide si vous avez une idée pour la surjectivité.
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