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[MPSI] - Application Linéaire : u² = Õ (Pb pour le Noyau)
Bonjour.
J'ai réalisé une démonstration dont j'ai le pressentiment qu'elle est fausse, mais perfectionniste comme je suis, j'aimerais comprendre pourquoi.
On définit u endomorphisme de E tel que u°u=Õ (application nulle)
J'ai exprimé Ker(u):
Démonstration [u][/u]: (j'utilise le sigle € pour "appartenant")
Ker(u) = {x€E / u(x)=0}
Ker(u) = {x€E / u[u(x)]=u(0)} or u(0)=0 car u € L(E)
Ker(u) = {x€E / u°u(x)=0}
Ker(u) = E
J'obtient donc u = application nulle... Bizarre. Et même faux d'après quelques exercices que j'ai observé ici et là..
POUVEZ VOUS M'AIDER A COMPRENDRE l'ERREUR? Merci D'avance.
C'est ta 2e ligne qui est fausse : u(x)=0 n'est pas équivalent à u(u(x))=u(0), sauf si u est injective, ce qui n'est a priori pas le cas.
On a bien u(x)=0 => u(u(x))=u(0), mais pas l'autre sens.
Contre exemple : il faut déjà trouver un endomorphisme non injectif. Définissons u(x,y)=(0,x), qui est bien un endomorphisme de R². u(u(1,1))=u(0,1)=(0,0), et pourtant, u(1,1) n'est pas égal à (0,0)...
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