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Négligabilté

Posté par
scoatarin 24-08-16 à 19:59

Bonjour,

Lors d'un sujet précédent, mdr_non m'a donné la liste suivante de cas classiques:

e^{-n} \ll \frac{1}{n^2} \ll \frac{1}{n} \ll \frac{1}{\ln n} \ll 1 \ll \ln n \ll n \ll n^2 \ll e^n \ll n!].

Si je rajoute à cette liste  e^{-n^2 }  et  e^{n^2 }  , j'obtiens:

e^{-n^2 } \ll e^{-n } \ll \frac{1}{n^2} \ll \frac{1}{n} \ll \frac{1}{\ln n} \ll 1 \ll \ln n \ll n \ll n^2 \ll e^n \ll e^{n^2 }\ll n!.

Est-ce juste ?

  

Posté par
Razesre : Négligabilté 24-08-16 à 20:07

Je ne pense pas.

Posté par
Razesre : Négligabilté 24-08-16 à 20:12

Compare en utilisant la formule de Sterling:

n! \sim {\left (\frac{n}{e}\right )}^n \sqrt{2 \pi n}

Posté par
scoatarinre : Négligabilté 24-08-16 à 20:33

Dans ce cas, je ne comprends pas pourquoi dans un corrigé d'exercice, on dit:

t^3e^{-t^2} = o(\frac{1}{t^2}) au voisinage de +.

Posté par
Razesre : Négligabilté 24-08-16 à 22:54

Razes @ 24-08-2016 à 20:12

Compare en utilisant la formule de Sterling:

n! \sim {\left (\frac{n}{e}\right )}^n \sqrt{2 \pi n}
Je parle de e^{n^2}

Pour e^{n^{-2}}, c'est bon.

Posté par
Razesre : Négligabilté 25-08-16 à 00:26

Tu peux calculer la limite du rapport des deux expressions à comparer:

\frac{n!}{e^{n^2}} \sim {\left (\frac{n}{e}\right )}^n \sqrt{2 \pi n}\frac{1}{e^{n^2}}={\left (\frac{n}{e^{n+1}}\right )}^n \sqrt{2 \pi n}

Si tu n y arrive pas ainsi, tu applique le \ln

Posté par
Razesre : Négligabilté 25-08-16 à 00:38

Autre méthode:

\forall k\in\mathbb{N}^*, tel que k\leqslant n; Donc: 1.2.3\hdots n \leq n.n.n\hdots n d'où k!\leqslant n^n

n^n=e^{n\ln n}\leqslant e^{n\ast n}= e^{n^2} \Rightarrow k!\leqslant e^{n^2} CQFD

Car \ln n\leqslant n

Posté par
mdr_nonre : Négligabilté 25-08-16 à 05:07

bonsoir : )

Citation :
Si je rajoute à cette liste  e^{-n^2 }  et  e^{n^2 }  , j'obtiens:

e^{-n^2 } \ll e^{-n } \ll \frac{1}{n^2} \ll \frac{1}{n} \ll \frac{1}{\ln n} \ll 1 \ll \ln n \ll n \ll n^2 \ll e^n \ll e^{n^2 }\ll n!.

Est-ce juste ?
Non, seulement à moitié. As-tu écrit au hasard ?

a) Comparaison asymptotique entre n \mapsto e^{-n^2} et n \mapsto e^{-n}.

Il est clair qu'elles sont toutes deux à termes non nuls et \lim_{n\to\infty} \frac{e^{-n^2}}{e^{-n}} = 0 d'où n \mapsto e^{-n^2} est négligeable devant n \mapsto e^{-n}.
e^{-n^2} \ll e^{-n} lorsque n \to \infty.


b) Comparaison asymptotique entre n \mapsto e^{n} et n \mapsto e^{n^2}.

De a) on déduit que, e^{n} \ll e^{n^2} lorsque n \to \infty.
Mais a-t-on n \mapsto e^{n^2} négligeable devant n \mapsto n! ?


c) Comparaison asymptotique entre n \mapsto e^{n^2} et n \mapsto n!.

Pour tout entier n \geq 1, 0 \leq \frac{n!}{e^{n^2}} \leq \frac{n^n}{e^{n^2}} = e^{n^2\left(\frac{\ln n}{n} - 1\right)} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 d'où, n! \ll e^{n^2} lorsque n \to \infty.
n \mapsto n! est négligeable devant n \mapsto e^{n^2}.

Posté par
mdr_nonre : Négligabilté 25-08-16 à 05:26

scoatarin @ 24-08-2016 à 20:33

Dans ce cas, je ne comprends pas pourquoi dans un corrigé d'exercice, on dit:

t^3e^{-t^2} = o(\frac{1}{t^2}) au voisinage de +.
Si tu as compris les preuves données dans mon précédent message tu comprendras pourquoi effectivement t^3 e^{-t^2} \underset{t \to \infty}{=} o\left(\frac{1}{t^2}\right).

Posté par
scoatarinre : Négligabilté 25-08-16 à 13:16

Merci à Razes et mdr_non de m'avoir aider aussi efficacement

Voici ce que j'ai réussi à faire:  

Comparaison asymptotique entre   n \mapsto t^3 e^{-n^2} et   n \mapsto \frac{1}{t^2}.

Il est clair qu'elles sont toutes deux à termes non nuls et \lim_{n\to\infty} \frac{t^3e^{-n^2}}{\frac{1}{t^2}} = 0
d'où n \mapsto t^3e^{-n^2} est  négligeable  devant  n \mapsto {\frac{1}{t^2}
t^3e^{-n^2} \ll  {\frac{1}{t^2}  lorsque  n  \to \infty. .

DONC effectivement:

t^3 e^{-t^2} \underset{t \to \infty}{=} o\left(\frac{1}{t^2}\right).

C'est bien çà ?

Posté par
mdr_nonre : Négligabilté 25-08-16 à 13:32

Presque. Tu fais un étrange mélange entre n et t.

Au voisinage de l'infini, les fonctions t \mapsto t^3 e^{-t^2} et t \mapsto \frac{1}{t^2} ne s'annulent pas et \lim_{t\to\infty} \frac{t^3 e^{-t^2}}{\frac{1}{t^2}} = 0 d'où t \mapsto t^3 e^{-t^2} est négligeable devant t \mapsto \frac{1}{t^2} au voisinage de l'infini.

On le note indifféremment :
t^3 e^{-t^2} \ll \frac{1}{t^2} lorsque t \to \infty,
ou t^3 e^{-t^2} \underset{t \to \infty}{=} o\left(\frac{1}{t^2}\right).

Posté par
mdr_nonre : Négligabilté 25-08-16 à 13:50

Et note que bien que j'ai écrit que : * les fonctions t \mapsto t^3 e^{-t^2} et t \mapsto \frac{1}{t^2} ne s'annulent pas *, seule la condition t \mapsto \frac{1}{t^2} ne s'annule pas est utile ici, j'en ai donc écrit trop.

Même remarque pour 25-08-16 à 05:07.

La propriété (caractéristique) qui a été utilisée ici est celle-ci :
Pour f et g deux applications définies sur un même voisinage de a \in \bar{\R},
si g ne s'annule pas au voisinage de a (sauf éventuellement en a \in \R avec dans ce cas f(a) = 0) et si \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 alors f \underset{a}{=} o\left(g\right).

Note également que l'expression (sans intérêt) f(x) \underset{x \to a}{=} o\left(0\right) signifie que f est nulle au voisinage de a.

Posté par
scoatarinre : Négligabilté 25-08-16 à 14:46

Merci encore,

Je répondrai aux questions de Razes demain.

Bonne continuation à tous les deux

Posté par
mdr_nonre : Négligabilté 25-08-16 à 15:04

Je t'en prie : ) Bonne continuation : )

Posté par
scoatarinre : Négligabilté 26-08-16 à 11:27

Bonjour Razes: j'ai compris la méthode ci-dessous.

Merci pour ton aide.

Razes @ 25-08-2016 à 00:38

Autre méthode:

\forall k\in\mathbb{N}^*, tel que k\leqslant n; Donc: 1.2.3\hdots n \leq n.n.n\hdots n d'où k!\leqslant n^n

n^n=e^{n\ln n}\leqslant e^{n\ast n}= e^{n^2} \Rightarrow k!\leqslant e^{n^2} CQFD

Car \ln n\leqslant n


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