Bonjour,
Voilà l'exercice que j'essaye de résoudre. Merci d'avance pour votre aide.
masterrr
________________________________________________________________________________________________________
I. Étude de quelques exemples
I.A.1. Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est . Montrer que est nilpotent et déterminer son indice de nilpotence. Calculer le rang de .
I.A.2. Soit l'endomorphisme de tel que et . Montrer qu'il existe une basse de dans laquelle la matrice de est égale à .
I.B. Soit l'endomorphisme de défini par . Déterminer et montrer que . Montrer que est nilpotent et calculer son indice de nilpotence.
________________________________________________________________________________________________________
II. Relations entre le rang et l'indice de nilpotence
On considère un endomorphisme nilpotent de et on note son indice de nilpotence.
II.A. Par définition de .
II.A.1. Montrer que la famille est libre.
II.A.2. En déduire les inégalités : .
II.B.1. Soit un entier naturel inférieur ou égal à . Montrer que (indication : considérer la restriction de à .
II.B.2. Montrer que : .
II.C.1. Soit un endomorphisme de nilpotent. Montrer que si, et seulement si, .
II.C.2. Si , montrer que pour tout endomorphisme nilpotent de , on a . Si , donner un exemple d'endomorphisme nilpotent de tel que .
________________________________________________________________________________________________________
I.A.1. donc est nilpotent, d'indice de nilpotence 2 et .
I.A.2. Soit une base de . Pour que la matrice de soit égale à dans cette base, il faut que . Mais comment choisir et pour que et ?
I.B. On a si, et seulement si, 5$ P est constant donc . Puisque on a et d'après l'égalité des dimensions fournie par le théorème du rang : . Je bloque sur le caractère nilpotent...
Bonjour
Réponse à I.A.2
Il faut utiliser le fait que rg(u)=dim(u)=2. On prend une base (e_1, e_2) de l'image, et des antécédents. Montre que ça convient!
Pour I.B remarque que le degré de est strictement inférieur à P, donc si on itère...
Merci Camélia !
Ne voudrais-tu pas dire une base du NOYAU ? Parce que sinon je ne vois pas comment on obtient les deux premières colonnes de zéro... Ensuite pour ce qui est des antécédents, il faudrait que u soit surjective non ? (pour assurer leur existence...).
Pour la I.B., j'ai compris le principe mais comment rédiger cela ? Une récurrence ? Ou l'annonce d'une récurrence sans la rédiger...
Merci d'avance.
Oui, tu as raison j'ai un problème de numérotation!
Soit une base de l'IMAGE. Comme ils sont dans l'image, ils ont des antécédents, donc il existe tels que . Alors pareil pour l'autre! Il te reste à prouver que c'est bien une base!
Pour les polynômes, le fait que le degré baisse par itération suffit à prouver que c'est nilpotent! Pour l'indice de nilpotence k, il suffit montrer que est nul, et d'exhiber un élément du genre une puissance de X pour lequel est non nul.
Encore merci. Je suis arrivé à Delta^{n-1}(P) \neq 0 car de degré 1. Par contre, pour Delta^n(P), qui est de degré 0, je peux juste dire que c'est une constante. Comment savoir s'il est nul (et donc en déduire que l'indice de nilpotente est n ou n+1).
Ensuite, j'ai fait la question II.A.1. mais je bloque pour en déduire les inégalités de la question II.A.2. J'imagine que c'est en rapport avec le fait qu'une famille libre d'un espace de dimension n a au plus n éléments et qu'une famille génératrice en a au moins n mais je n'arrive pas à aboutir au résultat voulu...
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :