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Nilpotence

Posté par
masterrr
27-09-09 à 12:24

Bonjour,

Voilà l'exercice que j'essaye de résoudre. Merci d'avance pour votre aide.

masterrr
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I. Étude de quelques exemples

I.A.1. Soit 5$ f l'endomorphisme de 5$ \mathbb{R}^4 dont la matrice dans la base canonique est 5$ N=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}. Montrer que 5$ f est nilpotent et déterminer son indice de nilpotence. Calculer le rang de 5$ f.

I.A.2. Soit 5$ u l'endomorphisme de 5$ \mathbb{R}^4 tel que 5$ \text{rg}(u)=2 et 5$ u^2=0. Montrer qu'il existe une basse de 5$ \mathbb{R}^4 dans laquelle la matrice de 5$ u est égale à 5$ N.

I.B. Soit 5$ \Delta l'endomorphisme de 5$ \mathbb{R}_{n-1}[X] défini par 5$ \forall P \in \mathbb{R}_{n-1}[X], \Delta(P)=P(X+1)-P(X). Déterminer 5$ \text{Ker}(u) et montrer que 5$ \text{Im}(u)=\mathbb{R}_{n-2}[X]. Montrer que 5$ \Delta est nilpotent et calculer son indice de nilpotence.
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II. Relations entre le rang et l'indice de nilpotence

On considère 5$ u un endomorphisme nilpotent de 5$ E et on note 5$ s son indice de nilpotence.

II.A. Par définition de 5$ s, \exists x_0 \in E / u^{s-1}(x_0) \neq 0.

II.A.1. Montrer que la famille 5$ (u^k(x_0))_{0 \le k \le s-1} est libre.

II.A.2. En déduire les inégalités : 5$ s \le \text{rg}(u)+1 \le n.

II.B.1. Soit 5$ k un entier naturel inférieur ou égal à 5$ s-1. Montrer que 5$ \text{rg}(u^k)-\text{dim}(\text{Ker}(u)) \le \text{rg}(u^{k+1}) (indication : considérer la restriction de 5$ u à 5$ \text{Im}(u^k)).

II.B.2. Montrer que : 5$ \frac{n}{n-\text{rg}(u)} \le s.

II.C.1. Soit 5$ f un endomorphisme de 5$ E nilpotent. Montrer que 5$ s(f)=\text{dim}(E) si, et seulement si, 5$ \text{rg}(f)=\text{dim}(E)-1.

II.C.2. Si 5$ \text{dim}(E)=3, montrer que pour tout endomorphisme nilpotent 5$ f de 5$ E, on a 5$ s(f)=\text{rg}(f)+1. Si 5$ \text{dim}(E)=n \ge 4, donner un exemple d'endomorphisme nilpotent 5$ f de 5$ E tel que 5$ s(f) < \text{rg}(f)+1.
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I.A.1. 5$ N^2=0 donc 5$ f est nilpotent, d'indice de nilpotence 2 et 5$ \text{rg}(f)=2.

I.A.2. Soit 5$ (e_1,e_2,e_3,e_4) une base de 5$ \mathbb{R}^4. Pour que la matrice de 5$ u soit égale à 5$ N dans cette base, il faut que 5$ e_1,e_2 \in \text{Ker}(u). Mais comment choisir 5$ e_3 et 5$ e_4 pour que 5$ u(e_3)=e_1 et 5$ u(e_4)=e_2 ?

I.B. On a 5$ \Delta(P)=0 si, et seulement si, 5$ P est constant donc 5$ \text{Ker}(\Delta)=\mathbb{R}_0[X]. Puisque 5$ \text{deg}(\Delta(P)) \le \text{deg}(P)-1 on a 5$ \text{Im}(\Delta(P)) \subset \mathbb{R}_{n-2}[X] et d'après l'égalité des dimensions fournie par le théorème du rang : 5$ \text{Im}(\Delta(P))=\mathbb{R}_{n-2}[X]. Je bloque sur le caractère nilpotent...

Posté par
masterrr
re : Nilpotence 27-09-09 à 15:29

Personne n'a d'idées ? ... S'il vous plaît.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Nilpotence 27-09-09 à 15:31

Bonjour

Réponse à I.A.2

Il faut utiliser le fait que rg(u)=dim(u)=2. On prend une base (e_1, e_2) de l'image, et e_3, e_4 des antécédents. Montre que ça convient!

Pour I.B remarque que le degré de \Delta(P) est strictement inférieur à P, donc si on itère...

Posté par
masterrr
re : Nilpotence 27-09-09 à 15:52

Merci Camélia !

Ne voudrais-tu pas dire une base du NOYAU ? Parce que sinon je ne vois pas comment on obtient les deux premières colonnes de zéro... Ensuite pour ce qui est des antécédents, il faudrait que u soit surjective non ? (pour assurer leur existence...).

Pour la I.B., j'ai compris le principe mais comment rédiger cela ? Une récurrence ? Ou l'annonce d'une récurrence sans la rédiger...

Merci d'avance.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Nilpotence 27-09-09 à 16:20

Oui, tu as raison j'ai un problème de numérotation!

Soit e_1, e_2 une base de l'IMAGE. Comme ils sont dans l'image, ils ont des antécédents, donc il existe e_3,\ e_4 tels que u(e_3)=e_1,\ u(e_4)=e_2. Alors u(e_1)=u^2(e_3)=0, pareil pour l'autre! Il te reste à prouver que c'est bien une base!

Pour les polynômes, le fait que le degré baisse par itération suffit à prouver que c'est nilpotent! Pour l'indice de nilpotence k, il suffit montrer que \Delta^k est nul, et d'exhiber un élément du genre une puissance de X pour lequel \Delta^{k-1} est non nul.

Posté par
masterrr
re : Nilpotence 27-09-09 à 17:27

Encore merci. Je suis arrivé à Delta^{n-1}(P) \neq 0 car de degré 1. Par contre, pour Delta^n(P), qui est de degré 0, je peux juste dire que c'est une constante. Comment savoir s'il est nul (et donc en déduire que l'indice de nilpotente est n ou n+1).

Ensuite, j'ai fait la question II.A.1. mais je bloque pour en déduire les inégalités de la question II.A.2. J'imagine que c'est en rapport avec le fait qu'une famille libre d'un espace de dimension n a au plus n éléments et qu'une famille génératrice en a au moins n mais je n'arrive pas à aboutir au résultat voulu...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Nilpotence 29-09-09 à 14:22

D'abord le degré de nilpotence ne dépasse jamais la dimension de l'espace!

Pour II.A.2 tu viens de trouer une famille libre de s-1 éléments de Im(u): u(x_0)...u^{s-1}{x_0). Donc s-1\leq rg(u).

Par ailleurs, comme le noyau n'est pas réduit à 0 puisque u(u^{s-1)(x))=0, on a rg(u) < n.



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