A mon sens il faut commencer par le début : pourquoi les nombres complexes ?
Au fur et à mesure du temps, les hommes ont été amenés a inventer de nouveaux nombres pour répondre à leurs questions.
Au départ, ils comptaient les moutons et les nombres entiers naturels leur suffisaient.
Puis avec leur banquier, il ont découvert qu'ils pouvaient être à découvert --->ils ont inventé les relatifs, etc, etc,...
Bien plus tard, on peut s'imaginer qu'un type est tombé sur l'équation qui était sans solution dans l'ensemble des nombres qu'il connaissait : les réels.
Et pourquoi n'y aurait-il pas de solution après tout. Mais si on veut rester honnête envers toutes les règles qui ont été décidées avant, cette solution ne peut pas exister dans "ce qu'on connait", donc on a inventé un ensemble de nombre qui contient la solution, l'ensemble des complexes.
Et on a dit, la solution c'est le nombre imaginaire i qui est tel que .

Bon cette histoire est à moitié fausse mais c'est pour simplifier...

Merci beaucoup pour ta petite histoire, ça m'a permis de comprendre pourquoi les Complexes.
Maintenant, je pense qu'il faut que j'apprenne les formules et les hypothèses de base...

En fait, il ne faut pas avoir peur de ce nouvel ensemble de nombres puisque les règles de calcul sont les mêmes que dans l'ensemble des réels. Il suffit de savoir que .
Il faut savoir que tout nombre complexe s'écrit de manière unique sous la forme où et sont deux réels.
Donc en fait .

En fait je voulais écrire "Il faut savoir que tout nombre complexe s'écrit de manière unique sous la forme où ..."

Merci pour ta réponse, on faite c'est tout ce qu'il y a à savoir? Enfin je veux dire dans un premier temps, pour être capable de ce débrouiller avec ce nouvel ensemble...
Je voulais te demander, à quoi correspond la formule de Cardan, en faite j'ai trouver ça en surfant sur le web dans des pages qui parlaient des nombres complexes...

Bonsoir Jonat.
Voici déjà un petit exercice de base : quotient de deux nombres complexes.
x+yi = (a+bi)/(c+di)
Il faut trouver x et tel que x+yi * c+di = a+bi.
cx + dxi + yci - yd = a+bi; il ne faut pas oublier que i*i = -1.
cx-yd = a
dx+yc = b
en multipliant la première équation par c et la deuxième par d :
c²x-ycd = ac
d²x+ycd = cd
x(c²+d²) = ac+cd
en multipliant la première équation par d et la deuxième par c :
cdx-yd² = ad
cdx+yc² = bc
en soustrayant la première de la deuxième :
y(c²+d²) = bc-ad
quotient : (ac+cd)/(c²+d²) + i*(bc-ad)/(c²+d²)

Bonjour plumemeteore,
merci pour cet exercice.
En faite, je ne comprend pas trop pourquoi
cx-yd=a et dx+yc=b
et où sont passé les i?

Merci

Bonjour,

uniquement à cause de ce qui est écrit plus haut

C'est à dire qu si 2 complexes sont égaux , alors leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales

Pour répondre à ta question sur la formule de Cardan, il me semble, je dis bien il me semble (car peut-être que je me mélange avec d'autres noms !) qu'il s'agit d'un type qui a obtenu une formule pour résoudre les équations du troisième degré sauf que desfois avec sa méthode on arrive à des racines carrées de nombres négatifs---->pas franchement très courant, c'est pourquoi on a recours aux nombres complexes.
Je prends un exemple un peu absurde comme ça : mettons que je veuille calculer et bien je peux dire que c'est comme calculer . (Mais attention ça ne se fait pas d'écrire , c'est juste pour comprendre !)

Et puis il y a un truc sympa aussi avec les complexes : c'est qu'il n'y a pas de notion d'ordre. Autrement dit, on ne sait pas dire si est plus grand où plus petit que .
Cela dit, et c'est quand même déjà pas mal, on sait dire si oui ou non il y a égalité entre deux complexes puisque chaque complexe a une écriture unique...

Merci pour vos réponses;
Bourricot, j'ai bien compris le pourquoi de l'égalité.
bof, merci pour ta réponse sur Cardan, je te confirme c'est bien la formule qui permet d'obtenir des racines pour une équation du troisième degrès...

bonne soirée

Il y a une seule décomposition possible alors pour que a + ib soit égal à x + iy ,

1) il faut que la partie réelle de a + ib soit égale à la partie réelle de x + iy

or la partie réelle de a + ib  est a ; et la partie réelle de x + iy est x

Il faut donc que a = x

2) il faut que la partie imaginaire de a + ib soit égale à la partie imaginaire de x + iy

or la partie imaginaire de a + ib  est b ; et la partie imaginaire de x + iy est y

Il faut donc que b = y

Est-ce plus clair ?

c'est parfait, j'ai tout compris, je te remercie beaucoup

bonne soirée

Je t'en prie ! Bonne fin de soirée à toi aussi.