desolee j ai oublie de preciser  ⁵ eⁱ⁵ = 1

Bonjour !
l'équation Z^n = 1 admet toujours dans C n solutions distinctes ou confondues à cause du fait que C est un "corps algébriquement clos" donc tu n'as rien à admettre que votre équation admet 5 solutions.
On pose à cet effet Z = [r,a] où r est le module de Z et
a est un argument de Z comme tu l'as indiqué ( rhô et thêta )pour cela on aura un petit système à résoudre :
r^5 = 1
5a = 0 + 2k(pi)   car 1 = [ 1,0 ].
comme r étant un module donc strictement positif alors on a r = 1 qui le module de chacune des cinq solutions de l'équation.
de plus a = 2k(pi)/5 avec k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4.
D'où les solutions sont donc:
Z0= [1,0 ]=1  Z1 = [ 1,2(pi)/5 ] = exp(2(pi)/5)
Z2= [ 1 , 4(pi)/5 ] = exp(4(pi)/5) ...Z3 et Z4 ..
Bon travail.

C'est pas très compliqué. Il suffit de se rappeler que |ab| = |a||b|. De là on en déduit que |z⁵| = |z|⁵.
On a donc |z|⁵ = 1 c'est à dire = 1

De là on en déduit  cos(5) + i.sin(5) = 1 donc cos(5) = 1.
Par conséquent, 5 = 0 + 2k, soit = 2k/5

A ce stade on a trouvé les solutions POSSIBLES de l'équation. On montre facilement que toutes ces solutions possibles sont effectibvement solutions de l'équation.

Donc z⁵ = 1 = 1 ET = 2k/5
En se servant de la périodicité de l'exponentielle, on peut restreindre les solutions de à 2k/5 où k<0; 4>

merci j'ai finalement compris mais c'est comment meme pas évident de trouver facilement.