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nombres complexes

Posté par
lulu0342
17-05-10 à 19:47

On a un triangle ABC quelconque avec les trois médiatrices D1 de [BC], D2 de [AC], D3 de [AB] et O le centre du cercle circonscrit au triangle (soit le point d'intersection des médiatrices). On a A', B', C', milieu de [BC], [AC], [AB]. On définit un repère où le vecteur OA'=u, (OA', OB')=alpha et (OA',OC')=béta. s1, s2, s3, réflexion d'axe D1, D2, D3. Comment définir les expressions complexes de s1, s2 et s3 ?

Posté par
dhalte
re : nombres complexes 17-05-10 à 19:59

Tu n'as pas défini complètement le repère.

O est-il le centre ?
\vec u est-il vecteur unitaire ?

Posté par
lulu0342
nombres comùplexes 17-05-10 à 20:13

bonsoir et merci de me répondre,
j'ai copié directement l'exercixe demandé qui me cause souci n'ayant pas traité cette partie du programme.
o est le centre effectivement et le vecteur u doit être le vecteur unitaire mais cela n'a pas été précisé.
comment demarrer? je vais avoir du mal, je comprends peu de choses aux complexes.
merci pour l'aide

Posté par
dhalte
re : nombres complexes 17-05-10 à 20:21

Les complexes sont un puissant outil de géométrie, en ce sens qu'ils permettent d'effectuer des calculs algébriques puissants qui sont l'exact réplique de propriétés géométriques.

Tu sais ce qu'est une réflexion d'axe Ox ?
tu sais ce qu'est un nombre complexe conjugué ?

Les deux notions sont identiques (on dit en maths de même forme - homomorphe )

Posté par
dhalte
re : nombres complexes 17-05-10 à 20:33

ça doit ressembler à ça, non ?

nombres complexes

Posté par
lulu0342
nombres complexes 18-05-10 à 00:09


Je reprends contact après une longue absence bien involontaire, veuillez m'excuser.

oui je vois bien sur le beau schéma réalisé ci dessus que cela donne.
s1 la reflexion d'axe D1 transforme B en C
s2 la reflexion d'axe D2 transforme c en A
s3 la reflexion d'axe D3 transforme A en B

comment passer aux expressions complexes de S1,S2,S3 ? en quoi le nombre complexe conjugué zbar = a-ib intervient-il?

Posté par
dhalte
re : nombres complexes 18-05-10 à 00:11

Quelle transformation subit un point de coordonnées (x;y) par la réflexion d'axe Ox ?

Posté par
lulu0342
nombres complexes 18-05-10 à 00:23

un point M(x,y) est transformé en M'(x,y') avec y=-y'
cela signifie-t-il que OM = a+ib se trasforme en OM' = a-ib ? et ensuite comment intervienent les angles?

Posté par
dhalte
re : nombres complexes 18-05-10 à 00:30

Citation :
cela signifie-t-il que OM = a+ib se trasforme en OM' = a-ib


bien, et alors z se transforme en son conjugué.

réflexion d'axe Ox (donc d'axe (OA') : 4$z\rightarrow\bar z

Maintenant, pour celle d'axe OB', on va opérer comme ça :
je tourne la figure d'un angle 4$-\alpha, ce qui amène OB' sur l'axe des abscisses
je fais la réflexion d'axe Ox (connue)
je tourne la figure d'un angle 4$+\alpha, ce qui ramène OB' à sa place originale.

Cela me fait faire la réflexion d'axe OB'

Connais-tu l'expression complexe d'une rotation de centre 0, d'angle 4$\alpha ?

Posté par
lulu0342
nombres complexes 18-05-10 à 00:43


si je relis bien ce que vos remarquables cours proposent (je n'ai pas ceux complets de mon prof ayant subi une opération importante qui m'a fait perdre 3 mois et demi de cours) je lis:
z'-alpha = e^iteta(z-alpha) je ne sais ni ce que représente teta dans l'expression ni ce que signifie reellemnt cette formule mais je veux bien l'appliquer et comprendre la démarche que j'ai bien suivie jusque là.  
merci

Posté par
dhalte
re : nombres complexes 18-05-10 à 01:00

Soit M d'affixe z (cela veut dire que si les coordonnées de M sont (x;y) alors z=x+i*y)
Soit I un point fixe d'affixe 4$z_I
Soit 4$\theta un nombre réel
Soit r la rotation de centre I, d'angle 4$\theta
Soit M' d'affixe z' le transformé de M par cette rotation r
Alors z et z' vérifient la relation suivante :
4$z^'-z_I=e^{i\theta}(z-z_I)

Il ne suffit pas, hélas, de se contenter de réciter une formule, il faut aussi en comprendre les termes.

Donc là, on a une rotation de centre O, d'affixe 0, d'angle 4$-\alpha

Donc la relation devient 4$z' = e^{-i\alpha}z

et la succession des transformations géométriques est en fait la composition des transformations complexes

rotation centre O, angle 4$-\alpha  z\rightarrow z_1=ze^{-i\alpha}
réflexion d'axe Ox : 4$z_1\rightarrow z_2=\bar{z_1}
rotation centre O, angle 4$\alpha  z_2\rightarrow z_3=z_2e^{i\alpha}

Il reste à recoller les morceaux pour trouver la relation entre 4$z et 4$z_3
4$z_3=z_2e^{i\alpha}=\bar{z_1}e^{i\alpha}=\bar{ze^{-i\alpha}}e^{i\alpha}

On peut encore améliorer la formule, mais digère déjà ça.

Posté par
lulu0342
nombres complexes 18-05-10 à 01:16



merci,

il va me falloir un peu de temps pour faire le lien entre S1,S2,S3, et Z1,Z2,Z3 qui sont si j'ai bien tout suivi les expressions complexes des 3 reflexions. L'architecture est formidable pour aboutir au résultat.

remarquable ...j'ai encore beaucoup de retard à combler mais je crois qu'avec votre aide les choses iront de l'avant.
mille mercis et bonne fin de soirée.

Posté par
dhalte
re : nombres complexes 18-05-10 à 01:19

Non, non :

j'ai seulement établi l'expression de la réflexion par rapport à OB'

Mais si ce n'est pas pressé, si ça peut attendre demain en soirée.

Posté par
lulu0342
nombres complexes 18-05-10 à 23:22

bonsoir dhalte,
je vais revenir un peu sur le pb commencé hier soir et dont la digestion est difficile.
je n'ai pas pu améliorer la formule de z3 qui me parait compliquée la reflexion s2 est difficile dans dans son écriture.
que dire alors de la reflexion s3?
il faut faire sans doute si j'ai bien compris une rotation d'angle -beta pour ramener oc' sur ox.
mais ensuite je ne saurai pas faire  les reflexion s1 puis  s2 et la rotation + beta pour trouver l'ecriture complexe de s3.
Je commernce à être dépassé par la composition des transformations complexes. Je pensais cela plus simple
La rotation de centre O d'angle -beta est:
z3 = ze^ -ibeta
reflexion d'axe ox : z3 = z2 bar
rotation o d'angle + beta :z4 = z3 eîbeta
mais ensuite pour trouver la relation entre z et z4 je me perds...Help

je ne suis pas sur du tout que tout ce qui précède soit juste. J'ai trop de retard pour rattraper tout cela...

Posté par
dhalte
re : nombres complexes 19-05-10 à 09:31

Citation :
ABC triangle quelconque
médiatrices D1 de [BC], D2 de [AC], D3 de [AB]
O centre du cercle circonscrit au triangle
A', B', C', milieux de [BC], [AC], [AB].
Repère centre O, 4$\vec u=\vec{OA'}
4$\hat{OA', OB'}=\alpha,\; \hat{OA',OC'}=\beta
s1, s2, s3, réflexions d'axes D1, D2, D3.


Soit M de coordonnées (x;y) dans ce repère, d'affixe z=x+iy.
Soit M' le symétrique de M par rapport à D1, qui est l'axe des abscisses du repère.
Posons (x', y') coordonnées de M', donc d'affixe z'=x'+iy'
alors x'=x, y'=-y, c'est à dire x' + iy' = x - iy, c'est à dire 4$z'=\bar z

L'expression complexe de la réflexion d'axe D1 (c'est à dire celui des abscisses) est 4$z'=\bar z

Maintenant, on veut trouver l'expression complexe de la symétrie par rapport à la droite D2, qui fait l'angle 4$\alpha avec l'axe des abscisses.

Pour cela, on décale la figure complète (A, B, C et M) en effectuant une rotation d'angle 4$-\alpha, donc on place D2 sur l'axe des abscisses. Puis on effectue sur le point M uniquement la symétrie d'axe D2 qui est devenu l'axe des abscisses (celle-là,on la connait) pour obtenir un point M', puis on restaure la figure (A, B, C, M et M') par une rotation d'axe 4$\alpha.

Il faut simplement connaitre l'expression complexe d'une rotation de centre O (origine du repère), d'angle 4$\theta, 4$z'=ze^{i\theta}

donc on va suivre ce qui se passe pour M

rotation de M d'angle 4$-\alpha, on appelle 4$M_1 la nouvelle position de M

4$M\rightarrow M_1\text{, d'affixe }z_1=ze^{-i\alpha}

symétrie de 4$M_1 par rapport à l'axe des abscisses :, on appelle 4$M_2 la nouvelle position de 4$M_1

4$M_1\rightarrow M_2\text{, d'affixe }z_2=\bar{z_1}

et sachant que 4$z_1 dépend de 4$z, nous avons aussi une expression de 4$z_2 en fonction de 4$z

4${\{z_1=ze^{-i\alpha}\\z_2=\bar{z_1}}\hspace{25pt}\Rightarrow z_2=\bar{ze^{-i\alpha}}

rotation de 4$M_2 d'angle 4$\alpha, on appelle 4$M^' la nouvelle position de 4$M_2

4$M_2\rightarrow M^'\text{, d'affixe }z^'=z_2e^{i\alpha}

et sachant que 4$z_2 dépend de 4$z, nous avons aussi une expression de 4$z^' en fonction de 4$z

4${\{z_2=\bar{ze^{-i\alpha}}\\z^'=z_2e^{i\alpha}}\hspace{25pt}\Rightarrow z^'=\bar{ze^{-i\alpha}}e^{i\alpha}

Voilà l'expression de la symétrie par rapport à D2

4$M\rightarrow M^'\text{, d'affixe }z^'=\bar{ze^{-i\alpha}}e^{i\alpha}

Évidemment, la symétrie par rapport à D3, qui fait un angle 4$\beta par rapport à l'axe des abscisses, est

4$M\rightarrow M^'\text{, d'affixe }z^'=\bar{ze^{-i\beta}}e^{i\beta}

Il suffit de remplacer 4$\alpha par 4$\beta (regarde bien la figure que je t'ai fournie précédemment)

On pourrait s'arrêter là au vu de l'énoncé. Mais je suppose que ton exercice va un peu plus loin, et de toutes façons, ce qui suit te sera utile :

Maintenant, malgré ton retard, tu as au moins lu dans ton manuel de maths les trois propriétés suivantes (faciles à démontrer) :

4$\bar{ab}=\bar a \; \bar b
 \\ \bar{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}
 \\ e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}

Donc je reprends l'expression de la symétrie par rapport à D2

4$z^'=\bar{ze^{-i\alpha}}e^{i\alpha}

j'utilise

4$\bar{ab}=\bar a \; \bar b

4$z^'=\bar{z}\bar{e^{-i\alpha}}e^{i\alpha}

j'utilise

4$\bar{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}

4$z^'=\bar{z}e^{i\alpha}e^{i\alpha}

j'utilise

4$e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}

4$z^'=\bar{z}e^{2i\alpha}

Interprétation : cette symétrie d'axe D2 est équivalente à la composition dans cet ordre d'une symétrie d'axe D1 (on calcule d'abord 4$\bar z), suivi d'une rotation d'angle 4$2\alpha

nombres complexes

Cette figure te montre cette propriété :
pour passer de M à M' par la symétrie D2, on peut aussi passer d'abord par M1 par la symétrie D1, puis rejoindre M' par la rotation 4$2\alpha

Cet exercice doit te faire sentir (ferme les yeux et inspire un grand coup) toute la puissance de la représentation complexe des points du plan :
de simples manipulations algébriques (simples parce que le cours est assimilé, évidemment), permettent d'établir facilement d'importantes propriétés géométriques.

Posté par
lulu0342
nombres complexes 19-05-10 à 14:09


bonjour,

je te dis merci les yeux fermés.....et en soufflant un grand coup ,.ta démonstration est géniale, mais que de chemin à parcourir encore, il me faudra une autre année pour tout rattraper.
merci encore, et je te demanderai directement pour le prochain exo. celui la je le rendrai en retard, j'ai dit au prof que je n'arrivai pas au bout de la démonstration et que je me faisais aidé. C'est ce qu'il m'avait conseillé, mais je n'ai pas les moyens de payer des heures sup.
a+

Posté par
lulu0342
nombres complexes 19-05-10 à 15:58


mes camarades qui n'ont pas mon retard ont eu à la fin de leur exercice la question suivante:

si on fait: s3oS2oS1 quelle est la nature de la similitude?

est ce que cela signifie en regardant ton dessin que la figure n'a pas bougé?

tu n'es pas obligé de me répondre puisque ce n'était pas dans mon exo, mais si tu peux m'éclairer ce serait bien.
Merci

Posté par
dhalte
re : nombres complexes 19-05-10 à 16:08

s3 o s2 o s1 veut dire qu'on applique d'abord la symétrie s1 par rapport à D1, puis ensuite s2 par rapport à D2, puis ensuite s3 par rapport à D3

s1 transforme 4$z en 4$z_1 tel que 4$z_1=\bar{z}

s2 transforme 4$z_1 en 4$z_2 tel que 4$z_2=\bar{z_1}e^{2i\alpha}

s3 transforme 4$z_2 en 4$z_3 tel que 4$z_3=\bar{z_2}e^{2i\beta}

s3 o s2 o s1 transforme 4$z en 4$z_3

il suffit de trouver la relation entre 4$z et 4$z_3 et de l'interpréter en termes géométriques.

Peux-tu la trouver ?

Posté par
lulu0342
nombres complexes 19-05-10 à 16:31

je crains le pire:

z3 =z2 e^2ibeta= (z1bar^ e2ialpha)bar.e^2ibeta = zbar e^-2ialpha.e2ibeta = ze^2i(alpha+beta)

je ne sais pas ce que cela signifie mais sans doute le plan reste-t-il dans sa position.?

Posté par
dhalte
re : nombres complexes 19-05-10 à 16:40

L'effort est louable.

Le résultat ... peut être amélioré.

4$z_1=\bar{z}
 \\ z_2=\bar{z_1}e^{2i\alpha}
 \\ z_3=\bar{z_2}e^{2i\beta}

donc
4$z_2=\bar{z_1}e^{2i\alpha}=\bar{\bar{z}}e^{2i\alpha}

Et tu peux vérifier que 4$\bar{\bar{a}}=a

4$z_2=ze^{2i\alpha}

4$z_3=\bar{z_2}e^{2i\beta}
 \\ z_2=ze^{2i\alpha}

donc
4$z_3=\bar{ze^{2i\alpha}}e^{2i\beta}

4$z_3=\bar{z}e^{-2i\alpha}e^{2i\beta}

4$z_3=\bar{z}e^{2i(\beta-\alpha)}

à part un conjugué qui manque et une erreur de signe, tu y étais presque.

Comment l'interprète-t-on ?

on part de z et on en prend le conjugué : symétrie par rapport à D1
et on multiplie le résultat par 4$e^{2i(\beta-\alpha)} : rotation de centre O, d'angle 4$2(\beta-\alpha)

Donc s1 o s2 o s3 est la composée de s1 et d'une rotation.

nombres complexes

Posté par
lulu0342
nombres complexes 19-05-10 à 17:17



merci mille fois , j'ai vu où était ma faute.
a+

Posté par
dhalte
re : nombres complexes 20-05-10 à 10:13

J'ai oublié de te signaler l'interprétation finale de la transformation s1 o s2 o s3

On a vu que son expression complexe était 4$z_3=\bar{z}e^{2i(\beta-\alpha)}

Je t'ai dit que ça pouvait s'interpréter comme
symétrie par rapport axe des abscisses
suivi de rotation d'angle 4$2(\beta-\alpha)

mais cette expression est à rapprocher de celle qu'on avait obtenue pour s2
4$z_2=\bar{z}e^{2i(\alpha)}
par analogie, s1 o s2 o s3 est une symétrie par rapport à la droite qui fait l'angle 4$\beta-\alpha avec l'axe des abscisses.

Ci dessous une matérialisation de ce fait :
j'ai dessiné les transformations s1, s2 et s3 en pointillés noirs, pour faire passer M à M1 puis M2 puis M3.
j'ai porté en tirets rouges la droite d'angle 4$\beta-\alpha avec l'axe des abscisses.

Et j'ai directement transformé M par la symétrie par rapport à cette droite (pointillé rouge)

nombres complexes

Cet axe de symétrie en tirets rouges passe par B

Sauras-tu le démontrer grâce aux nombres complexes ?

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