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nombres complexes : ensemble des points M

Posté par
flo03630 25-10-16 à 22:06

Bonjour j'ai un DM, je suis en Terminale S et je n'arrive pas à résoudre ce problème, vos aides me seraient d'une grande utilité :
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (0;u:v), on associe à tout point M d'affixe z distincte de 2i, le point M' d'affixe z' tel  que z'=(z-3)/(iz+2).
Déterminer l'ensemble des points M du plan, tels que M' soit un point de l'axe des réels (0;u)

Posté par
vhamre : nombres complexes : ensemble des points M 25-10-16 à 22:19

Bonsoir,

Les parties réelle et imaginaire de z' se déduisent de z=x+iy.
Si la partie imaginaire de z' est égalée à 0, il en résulte une équation pour z...

Posté par
ciocciure : nombres complexes : ensemble des points M 25-10-16 à 22:20

Salut
Y' à sûrement plusieurs possibilités mais y'a toujours celle de  remplacer z= x+iy et de calculer la forme algébrique de z'

Posté par
gerrebare : nombres complexes : ensemble des points M 25-10-16 à 22:29

Bonsoirn peut également écrire :z'=z'barre   en faisant attention  et produit en croix...
Il y a un peu de symétrie entre z et zbarre...

Posté par
flo03630re : nombres complexes : ensemble des points M 25-10-16 à 22:32

bonsoir merci, oui j'ai calculer la pratie imaginaire et réel de z' mais je ne sais pas quoi faire après ?

Posté par
ciocciure : nombres complexes : ensemble des points M 25-10-16 à 22:33

Ok et tu trouves quoi?

Posté par
flo03630re : nombres complexes : ensemble des points M 25-10-16 à 22:40

ré(f(z'))=(-x²-y²+2y+3x)/((-y+2)²+x²)
im(f(z'))=(2x+3y-6)/((-y+2)²+x²)

Posté par
ciocciure : nombres complexes : ensemble des points M 25-10-16 à 22:46

Ok comment tu traduis

flo03630 @ 25-10-2016 à 22:26


M' soit un point de l'axe des réels (0;u)
  pour l'affixe. Z' ?

Posté par
flo03630re : nombres complexes : ensemble des points M 25-10-16 à 22:51

justement ca je ne le sais pas

Posté par
ciocciure : nombres complexes : ensemble des points M 25-10-16 à 22:57

Si un complexe est sur l'axe des réels ca veut dire quoi pour son affixe?

Posté par
ciocciure : nombres complexes : ensemble des points M 25-10-16 à 22:59

Réfléchis juste un peu z'=x'+iy' or z' est réel. ...

Posté par
flo03630re : nombres complexes : ensemble des points M 25-10-16 à 23:00

l'imaginaire est nul ?

Posté par
ciocciure : nombres complexes : ensemble des points M 25-10-16 à 23:02

Bi n oui
donc c'est quoi la partie imaginaire de z'

Posté par
flo03630re : nombres complexes : ensemble des points M 25-10-16 à 23:04

c'est 0

Posté par
ciocciure : nombres complexes : ensemble des points M 25-10-16 à 23:12

Oui certes
Mais tu l'a calculé avec des x et y

Posté par
vhamre : nombres complexes : ensemble des points M 26-10-16 à 00:17

Bonne nuit

La partie imaginaire im(f(z')) calculée par flo03630 à  25-10-16 à 22:40 N'EST PAS CORRECTE (avec vérification sur GeoGebra)

Posté par
carpediemre : nombres complexes : ensemble des points M 26-10-16 à 01:30

salut

un point appartient à l'axe des réels si et seulement si son affixe est réelle si et seulement si son affixe est son conjugué

en notant z* le conjugué de z

\dfrac {z - 3} {iz + 2} = \bar {\left( \dfrac {z - 3} {iz + 2} \right)} <=> (z - 3)(-iz^* + 2) = (iz + 2)(z^* - 3) <=> 2izz^* - (2 + 3i)(z - z^*) = 0 <=> \\ \\ 4zz^* - (6 - 4i)(z - z^*) = 0 <=> [2z - (3 - 2i)](2z^* - (3 + 2i)] = (3 - 2i)(3 + 2i)    (*)

en notant A le point d'affixe (3 + 2i)/2 alors (*) <=> AM^2 = \dfrac {13} 4

donc l'ensemble des points M tels que M' appartienne à l'axe des réels est ....


PS ! vu l'heure tardive probablement quelques erreurs ... mais l'idée permet de voir qu'il est inutile de passer par la forme algébrique de z ....

Posté par
vhamre : nombres complexes : ensemble des points M 26-10-16 à 10:38

Bonjour,

@ carpediem : Salutations, j'aime bien votre solution, élégante. Mais il est douteux que flo03630 sache l'assimiler qui ne maitrise pas la forme algébrique de manipulation plus classique (plus simple ?)

Posté par
carpediemre : nombres complexes : ensemble des points M 26-10-16 à 14:31

merci ...

bien sur ... je n'arrête pas de proposer cette méthode qui montre toute la puissances des nombres complexes et permet réellement d'aller de l'avant ...

c'est comme quand on propose une voiture à 5 vitesses et qu'on t'interdit (ou qu'on ne te propose pas) de passer au delà de la troisième vitesse ... tel est actuellement notre enseignement ...



PS : en regardant ce que j'ai écrit c'est peut-être 3/2 - i plutôt que 3/2 + i ...

Posté par
vhamre : nombres complexes : ensemble des points M 27-10-16 à 14:41

Bonjour,

Je regardais la nature géométrique du problème et  :....Solution immédiate :

L'argument de (z-3) doit être égal à celui de (iz+2) soit \frac{y}{x-3}=\frac{x}{2-y}
z est donc sur le cercle x(x-3)+y(y-2)=0 (x-1,5)2 + (y-1)2=3.25

Posté par
carpediemre : nombres complexes : ensemble des points M 27-10-16 à 17:01

bien vu ...


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