Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Nombres complexes: équations.

Posté par
Henry2095
11-07-13 à 23:16

Bonsoir, je m'entraîne pendant les vacances en faisant des exercices sur les nombres complexes.
Il s'agit ici de résolution d'équations dans C et je n'arrive pas à trouver les solutions de deux équations.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Voici les deux équations:
1) z^3+1=0.
2) z^4-2z^3-z²-2z+1=0 (Il est donné comme indication de poser Z=z+(1/z)).

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Erainel
re : Nombres complexes: équations. 11-07-13 à 23:35

Bonsoir.

1) Pour tout complexe z, z^3+1=0 <=> (z + 1)(z^2 - z +1) = 0
La solution z=-1 devient évidente. Pour les deux autres, il te suffit de résoudre l'équation du second degré, ce qui devrait être assez simple à faire.

2)Suis l'indication qui t'es donnée.

Posté par
WilliamM007
re : Nombres complexes: équations. 11-07-13 à 23:36

Bonjour.

-1 est racine évidente de la première équation, donc tu peux factoriser par (z+1), ce qui donne :
(z+1)(z²-z+1)=0
Il y a donc -1 et les racines de z²-z+1

Quand à la deuxième, que se passe-t-il si tu poses Z=z+(1/z) ? ...

Posté par
Henry2095
re : Nombres complexes: équations. 12-07-13 à 00:14

Ah ok pour la premiere j'ai compris et je trouve 3 solutions: -1; (1/2)-(3/2)i et (1/2)+(3)/2)i.
Pour la deuxième malgré l'indication, je comprends comment poser Z=z+(1/z).

Merci encore pour votre aide.

Posté par
mathafou
re : Nombres complexes: équations. 12-07-13 à 01:22

Bonsoir,

si malgré l'indication tu comprends, tout baigne !!
ah ! tu veux dire que malgré l'indication tu ne comprends pas ...

z = 0 n'étant évidemment pas solution l'équation est équivallente à :

(z^4 - 2z^3 - z² - 2z + 1)/z^2 = 0
soit
z^2 - 2z - 1 - 2/z + 1/z^2 = 0
ou encore
(z^2 + 1/z^2) - 2(z + 1/z) - 1 = 0

développes (z + 1/z)^2 histoire de retrouver le z^2 + 1/z^2 et d'exprimer ton équation en fonction de Z = z + 1/z seulement
et ainsi d'obtenir une simple équation du second degré en Z
ensuite tu résous l'équation (du second degré aussi) en z : z + 1/z = Z pour avoir z

ce qui te donne les 2*2 = 4 solutions comme attendu

Posté par
alainpaul
re : Nombres complexes: équations. 12-07-13 à 11:58

Bonjour,


p(z)= z^4 - 2z^3 - z² - 2z + 1 , les coefficients
peuvent être lus de gauche à droite ou de droite à gauche:
{1,-2,-1,-2, 1}
dans ce cas nous avons:
p(z)/z^2=(z+1/z)^2+b(z+1/z)+c


Le procédé est valable pour tout polynôme Pn(z) symétrique,


Alain

Posté par
Henry2095
re : Nombres complexes: équations. 12-07-13 à 12:18

Voici ce que j'ai réussi à faire:

z^4-2z^3-z²-2z+1=0 équivaut à (z^4 - 2z^3 - z² - 2z + 1)/z^2 = 0 équivaut à z^2 - 2z - 1 - 2/z + 1/z^2 = 0 équivaut à
(z^2 + 1/z^2) - 2(z + 1/z) - 1 = 0 équivaut à (z+(1/z))²-2(z+(1/z))-3=0 car (z+(1/z))²=z²+(1/z²)+2.
On pose Z=z+(1/z), on a donc: Z²-2Z-3=0. =16. Donc, il existe deux solutions réelles: -1 et 3.

Comme Z=z+(1/z), on a z+(1/z)=-1 équivaut à z²+z+1=0. =-3.
Donc il existe deux solutions complexes: (-1/2)-(3/2)i et (-1/2)+(3/2)i.

On a aussi: z+(1/z)=3 équivaut à z²-3z+1=0. =5.
Il existe donc deux solutions réelles: (3-5)/2 et (3+5)/2.

Ce qui nous fait bien 4 solutions.
Merci beaucoup.

Posté par
mathshule
re : Nombres complexes: équations. 18-07-13 à 14:53

Salut ! l'exercice est résolu maintenant mais je suis interresé par la poste de alainpaul

C'est quoi les polynomes a coefficients symétriques et leurs relations avec les racines du polynomes ?

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île des mathématiques
© digiSchool 2016

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1183 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !