Bonjour

Si l'espace est C([0,1],R) d'où sortent toutes ces dérivées?

l'espace est C([0,1],R)

Bon, pour une majoration utilise Taylor-Lagrange sur [0,1].

Bonjour,
que veux tu faire exactement ?
Montrer que les normes ne sont pas comparables ?Deja ton ensemble E est surement l'ensemble des fonctions p fois continument dérivables.

Je pense que montrer que ||f|| < C.||f||_infini est faux est facile.

Suppose que c'est le cas, alors il existe une suite de fonction f_n C_infinies telle que
f_n(x) = 0 sur R- et 1 sur [1/n,infini[

Par le théorème des accroisssements finis je pense que c'est facile d'obtenir une contradiction (je n'ai pas essayé, c'est juste une piste qui m'est venue en tête).


Maintenant, que dire de l'inverse ?
Je n'ai pas pensé longtemps, mais n'a t'on pas un théorème qui dit que si une fonction p-fois dérivable telle que f_n^(p) converge uniformément vers une fonction g, et une condition de convergence en un seul point alors f_n converge aussi uniformément vers une fonction f dérivable p fois et dont la dérivée p-ieme est justement égale à g ?

J'ai été un peu lent.
Bonjour Camelia

Salut otto

je ne suis vraiment pas sur que mon idée soit bonne...
pour taylor lagrange où apparait la norme infini de f?
sinon otto je n'ai pas encore vu le convergence uniforme...

Je me mettrai bientôt à LATEX
Comme l'écrit Camelia le texte est incorrect
Supposons donc que f soit élément de Cp([0,1]
Il reste encore une notation malencontreuse  f(p) n'a aucun sens x appartient à [0,1)
J'imagine donc qu'il s'agit de la norme infini de la dérivée p ième de f.
Avec ces hypothèses
Le développement limité Taylor jusqu'à l'ordre p-1 avec le reste f exposant(p)(téta x)/p!
donne facilement Quel que soit x de [0,1) abs(f(x))<=abs(f(0) +abs(f'(0)+abs(f"(0)/2! +...abs(f exposant(p-1)(0)/(p-1)!+abs(fexposant(p) (téta x))<+ sigma k=0 à p-1 abs[(f exposant (k)(0))+ norme infini de f exposant (p)) on en déduit sur [0,1]  Sup(f(t)<= à ce qui suit.
donc norme infini <= norme indice p de f.

Il existe tel que



donc

pour tout x dans [0,1]

ah oui d'accord
merci beaucoup pour votre aide!