Salut,

Les normes p sont bien équivalentes deux à deux, car il s'agit d'un produit fini d'espaces vectoriels.
Tu as déjà du voir la démo dans le cas plus particulier où chaque est , et donc le produit c'est .
Il me semble qu'on utilise le même raisonnement pour la version un peu plus générale.

qui nous dit qu'on définit sur P que les normes p ?

non ce qui m'intéresse n'est pas lé démo juste l'idée utilisée ...

En fait c'est encore plus simple, la topologie produit de P induite par les topologies des E_i, est donnée par la norme infini.

c'est quoi N ici ? est-ce egal à n?

produit fini c'est juste un indice ... (sauf ds la parenthèse où c'est une norme)

et non ce n'est pas égal à n

Je ne trouve pas de lien sur le net (à part si tu connais les espaces métriques alors tu peux voir ici [url]http://pascal.alseyn.net/mathematics/galaxy/metric-and-topology/METPROD.PDF[/tex]).

Sinon pour les constructions de normes sur l'espace produit que tu as vu, elles sont en fait toutes équivalentes à la "norme infini", comme je t'ai expliqué dans mon premier message.
Il faut sortir les inégalités d'équivalence de normes, et si tu l'as déjà fait pour , tu trouveras facilement les bonnes constantes.

Sinon pour les constructions de normes sur l'espace produit que tu as vu, elles sont en fait toutes équivalentes à la "norme infini">>> personellement je ne me mangagerai pas par là ^^ si K=R ou C et que les Ei sont de dimension fini je veux bien... mais si on change le corps ou juste qu'on fait un produit d'espace de dimension infini ca va ce compliquer nettement...
alors que le fait que la norme infinie définie la topologie produit est vrai dans une situation totalement général : quelque soit le corps (valué) de base, et les espaces Ei considéré (tant qu'ils sont en nombres finis).


bref, tous ca pour dire : regarde dans ton cours comment on défini la topologie/la norme sur un produit d'espace et la réponse est là ^^

à j'ai trouvé la réponse :


ya un th. :

Si E est dimension finie, alors toutes les normes sur E sont équivalentes.

ok ça marche je regarde ...

oublie l'équivalence des normes : ca n'as (à priori*) rien à voir avec ton problème. d'ailleur, je le repète : si les Ei sont pas des ev de dimension fini tu ne peux pas invoquer le th d'équivalence des normes (il est faux ! )

oué :

ok

oui en mettant entre guillemets, je voulais souligner que ce n'était pas la norme infini qui s'exprime avec la valuation du corps, mais celle qui s'exprime avec la norme des E_i. C'est vrai que c'était imprudent de ma part

Mais dans la question "à qu'elle condition une suite converge dans P" il faut définir une topologie (ou une norme) sur P parceque une convergence de suite ca dépend de la topologie qu'on met... et y a un endroit dans ton cours ou ca doit etre marqué que cette norme est la norme infini... (ou la norme v_1, ou v_2 qui lui sont équivalente. mais rien à voir avec une éventuelle équivalence de toute les normes sur P...)

pour la convergence dans un evn, ils ne spécifient pas la norme (à laquelle est associée la distance ...)

mais enfin je crois que tu veux que je trouve cela dans la définition de la convergence d'une suite dans un produit fini de evn ?
bin non il passe directement à ce point là.

donc pour résumer, la norme qui entre dans la définition de la convergence ds un produit fini est que la norme infini (ou v(1) ou v(2))

ok merci bien

@+

et oui,
y a t-il une raison pour avoir restreint la déf à la norme infini (ou 1,2) ?

Oui.

d'une facon tres général : si P=produit des Ei avec Ei des espaces topologique (pas neccessairement en nombre fini) , il y a une construction tres général d'une topologie sur P de la facon suivante :

on veut qu'une application de f:X->P soit continu si et seulement si chaque f_i (les composantes de f) soit continu (pour X un espaces topologiques quelconque) il y a un unique topologie qui vérifie ca. (l'unicité viens du fait que si il y en avait deux différente, alors on peut montrer en utilisant cette propriété que l'application identité entre de P munie de la première topologie dans P munie de la seconde est un homéomorphisme...)
on peut aussi définir cette "topologie produit" en disant que c'est la topologie la moins fini rendant continu les projection de P->X_i


à partir de la,
exercice : si les E_i sont un nombre fini d'espace vectorielle normé, alors P munie de cette topologie produit est un EVN pour la norme infini.
(en revanche, les les E_i sont en nombre infini et non réduit à {0}, P n'est pas normable, et si ils sont en nombre non dénombrable il n'est meme pas métrisable)

merci Ksilver. j'ai vu que tout cela se ramène plus ou moins à du cours (dont je n'avais pas connaissance). je vais le regarder et poster plus tard