Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau autre
Partager :

Opérateur hermitique

Posté par
julien_4230
07-09-08 à 12:06

Bonjour à tous

Voici un problème que je n'arrive pas à résoudre.
Merci de m'aider !

Soit A un opérateur pas forcément hermitique.

1) Montrer que A+A et AA+ sont des opérateurs hermitiques (c'est fait)

2) D'après le théorème spectral il existe pour chacun d'eux une base de vecteurs propres. Montrer que leurs valeurs propres sont réelles (c'est fait) et positives (je n'y arrive pas !).
On pourra considérer (x|A+Ax) où x est un vecteur propre de A+A.

Soit un espace de Hilbert de dimension infini discret. On note {ei,i entier naturel} une base orthonormée de cet espace. On définit l'opérateur T de translation par :
quelque soit i, Tei=ei+1
On cherche à calculer l'opérateur T+

3) Montrer que (ei|T+e0) = 0pour tout i. En déduire T+e0.

On a :
(ei|T+e0) = (ei+1|e0) = 0
Donc T+e0 = e0

4) Calculer (ei|T+e1) = 0 pour tout i. En déduire T+e1.

Si (ei|T+e1) = 0, alors (ei|T+e0) = (ei|T+e1) = 0.
Donc T+e0=T+e1=e0.

5) En déduire l'action de T+ sur la base {ei}.

On généralise alors : pour tout i, T+ei=e0.

6) Calculer les opérateurs T+T et TT+, et montrer que leurs valeurs propres obeïssent au résultat de la question 2.

De l'énoncé, on tire que :
T+Tei=T+ei+1=e0
Donc : T+Te0=e0

De 5), on tire que :
TT+ei=Te0=e1
Donc : TT+e1=e1

On constate que les valeurs propres de T+T et TT+ sont positives.


Voilà. Ce que je ne suis pas sûr est la question 4). Tout le reste en découle. En fait, si on compare la question 3) et 4), les premiers termes sont différents « montrer que » et « calculer », cela voudrait donc dire, en quelques sortes, qu'on pose (ei|T+e1) = 0, et qu'on doit calculer T+e1
Mais je vous avoue que si ce n'est pas le cas, la question est terriblement mal posée.
Merci de regarder !

A bientôt.

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Opérateur hermitique 07-09-08 à 12:28

Salut

Je m'y connais pas trop à ces opérateurs qu'on utilise à la physique quantique, je connnais à peine l'équation de Schrodinger , mais j'essaierai de faire une analogie avec ce qu'on fait en maths ! Donc si ça ne colle pas tu le dis !

Pour la première question: Soit x une vecteur propre associé à la vap 3$\lambda 3$(x|(A^+Ax)=(x|\lambda x)=\lambda(x|x)

Or t'as montré que l'opérateur 3$A^+A est hermitique, ce qui se traduit par: 3$(x|(A^+Ax)\ge 0

Ainsi, 3$\lambda(x|x)\ge 0 et 3$(x|x)\ge 0 donc 3$\lambda\ge 0

Ainsi les vap d'un opérateur hermitique sont positives

Posté par
julien_4230
re : Opérateur hermitique 07-09-08 à 12:44

Pourquoi ça implique que (x|A+Ax) positif ?!

Merci !

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Opérateur hermitique 07-09-08 à 12:46

c'est pas la définition même d'un opérateur hermitique?

par exemple dans l'algèbre bilinéaire, on a comme analogie les endomorphisme symétriques qui vérifient (f(x)|x) positif, même chose dans l'algèbre sesquilinéaire ! Y a pas cette propriété avec les opérateurs hermitiques?

Posté par
julien_4230
re : Opérateur hermitique 07-09-08 à 13:37

Eh bien, je n'en sais rien, le cours n'a pas parlé explicitement de, si A est un opérateur hermitique, (x|Ax) positif ou nul.

Par contre la définition de l'adjoint A+ d'un opérateur A, pour deux vecteurs x et y, est :
(Ax|y)=(x|A+y)

Un opérateur hermitique vérifie, par définition A=A+

Mais je ne vois pas trop en quoi (x|Ax) est positif à partir uniquement de ces définitions... Tu vois, toi ? Merci

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Opérateur hermitique 07-09-08 à 13:49

Désolé je voulais te dire que A^+A est symétrique positif !

Y a cette notion de hermitique positif?

Si c'est le cas,  c'est simple à montrer, quelle que soit l'opérateur A (hermitique ou non), A^+A est hermitique positif !

Posté par
julien_4230
re : Opérateur hermitique 07-09-08 à 13:51

Je ne connais pas cette notion... Tu peux m'en dire plus ? Merci !

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Opérateur hermitique 07-09-08 à 13:54

Tu veux que je te donne ca en terme de matrices et tu le traduis pour ces opérateurs hermitiques?

Posté par
otto
re : Opérateur hermitique 07-09-08 à 15:09

Je m'y connais pas trop à ces opérateurs qu'on utilise à la physique quantique, je connnais à peine l'équation de Schrodinger , mais j'essaierai de faire une analogie avec ce qu'on fait en maths ! Donc si ça ne colle pas tu le dis
Bein c'est un problème de maths ici, pas de physique ... Je ne comprend pas trop ta remarque...

Posté par
otto
re : Opérateur hermitique 07-09-08 à 15:13

Un truc du genre
<x,A*.Ax>
=
<Ax.Ax> >=0

te donne avec x un vecteur propre

<x,A*.Ax>
=
<x,l.x>
=
l.||x||^2

et en identifiant l>0.

A moins que je sois vraiment rouillé et que je raconte n'importe quoi.

Posté par
julien_4230
re : Opérateur hermitique 07-09-08 à 17:03

Monrow : dis-moi ça en terme de matrice, il n'y a aucun problème.

Otto : mais si tu fais (x|A+Ax)=(Ax|Ax) tu sous-entends que A est hermitiques, mais A ne l'est pas forcément.
Ensuite, je veux bien que tu identifies l à un réel positif, mais c'était le but, et on avait (x|A+Ax)=l(x|x).

En fait, le problème est de prouver que, dans cette équation, l est positif.

Thank you !

Posté par
otto
re : Opérateur hermitique 07-09-08 à 19:58

Bonjour,
où ai je supposé que A était hermitique ?
J'imagine que A+ désigne l'adjoint de A non ?

Dans ce cas je me suis seulement servi de la définition d'un adjoint.

Et j'ai prouvé que l>0

Posté par
julien_4230
re : Opérateur hermitique 07-09-08 à 20:51

Oula... Je mélange tout, moi !
Merci beaucoup, c'est si simple....

Bon je récapitule.

(x|Ay)=(A+x|y) est la définition de l'adjoint d'un opérateur A.

A=A+ est la définition d'un opérateur hermitique.

Et c'est tout ! Est-ce que le reste du problème est okay ? C'est très simple, mais il faut s'habituer au nouveau jargon. Merci !

Posté par
otto
re : Opérateur hermitique 07-09-08 à 21:57

Oui l'idée est d'envoyer l'adjoint de l'autre coté pour avoir un produit scalaire et donc c'Est positif.

D'un autre coté si x est un vecteur propre alors on trouve un multiple de la norme mais par ce qu'on a fait avant ce multiple est positif et c'est fini.

Posté par
julien_4230
re : Opérateur hermitique 08-09-08 à 00:23

Tout à fait.

Est-ce que la suite du problème ça va, s'il vous plaît ? Je suis conscient que c'est embêtant, mais je vous en prie, aidez-moi please

Thank you !

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île des mathématiques
© digiSchool 2016

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1183 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !