Bonjour

J'ai du mal à lire l'énoncé. Pouvez-vous le réécrire.

je vous remercie pour votre intérêt, je vais attaché l'examen où j'ai trouvé le problème c'est exactement le problème 2 partie 1 ( un cas particulier de pénalisation intérieure)

désolé j'ai pas pu faire l'attachement car le fichier que j'ai est un pdf et ce site ne l'accepte pas
de toute façon je vais réécrit l'énoncé
Soit n IN avec n >= 2
et J : IRⁿ IR     une fonction continue, coercive et strictement et convexe.
Dans la suite pour tout   on va noter
U = IR^n-1 ],+[ et
U = IR^n-1 ]0;+[      (remarquer que U est l'interieur de U₀).
Pour tout k IN^* on introduit la fonction
J_k : U IR definie par
J_k(x) = J(x) + 1/(kx_n)      
x=(x₁,.......x_n)^T U

Ia) Montrer que le probleme: trouver x^* U₀ tel que
(2)                 J(x^*) = min_yU0J(y)
a une solution et une seule.
Ib) Montrer que pour tout k IN^* le probleme: trouver x^(k) U tel que
(3)                 J_k(x^(k)) = min_yUJ_k(y)
a une solution et une seule.
Indication: Montrer que pour  > 0 assez petit (à preciser) on a:
inf_yU-UJ_k(y) > inf_yUJ_k(y)
Ic) Montrer que la suite J(x^(k)) est bornee et en deduire que la suite x^(k) est bornee.
Id) Montrer que la suite x^(k) converge vers x^* pour k.

NB1 : Si le pdf ne se trouve pas sur internet tu peux le placer en téléchargement sur internet avec un service comme google doc. Et s'il est sur internet, il suffit de donner le lien vers ce fichier.

NB2 : Tu dis que U est l'intérieur de U₀. Je suppose que U=^n-1x[,+[

I. Considérons x un point quelconque U (ie  le point (1,1,...,1)), et constatons:
    - J étant coercive, il existe une boule B de rayon r=||x||, au delà de laquelle J admet des valeurs > 1
    - J étant convexe et continue sur l'ouvert convexe non vide U de E, et x un U : Il existe alors une fonction affine continue A() qui minore la fonction J() sur U et qui coïncide avec elle en ce point (théorème de la Minorante affine). Par continuité, A() minore également J() sur ^n-1x{0}. Ainsi J est minorée par max(1, max  (A sur la boule B))
J est donc minorée. Elle admet par conséquent une borne inf. b.
Appliquons de nouveau la propriété de coercivité pour déduire l'existence d'une boule B₂, au delà de laquelle J>b+1
L'image du compact B₂, par l'application continue J à valeurs dans l'espace séparé , est compacte. C'est donc un fermé. bJ(B₂).

Reste à démontrer l'unicité. Supposons qu'il existe deux points distincts où le minimum b est atteint. J étant strictement convexe, sa valeur au point situé au milieu est inférieure à b. c'est absurde.

J'avoue ne plus maîtriser la formulation mathématique rigoureuse nécessaire. Je te propose de retranscrire ce que je viens de dire et puis continuer le reste.

Petite erreur à rectifier:
l'intersection de B2_{[/sub] avec U[sub]0} est compacte. Il faut remplacer dans les 3 dernières lignes de mon message précédent B₂ par cette intersection qui est également un compact.

je vous remercie pour l'explication , mais je veux vous avouer que j'ai pas trouvé une difficulté pour la 1ére question comme nous avons un corollaire au cours: si J est continue, coercive et strictement convexe, encore si la contrainte qui est dans notre cas U₀= ^n-1 [0,+[ est un fermé convexe alors J admet un et un seul minimum global sur U₀
la difficulté que j'ai eu c'est dans la question d'après comment je peux faire l'équivalence entre les deux problèmes; l'un se fait sous la contrainte U₀ et l'autre sous la contrainte U
je réécrit la question:

montrer que pour >0 assez petit à déterminer
                     inf_xU0J_k(x)= inf_xUJ_k(x)

une faute à rectifier dans l'énoncé U=^n-1[0,+[
vous avez déjà remarquer ça et U₀= U

désolé U₀= ^n-1[0,+[
et U=^n-1]0,+[
alors de nouveau ma question comment je peux faire l'équivalence entre les deux problèmes; l'un se fait sous la contrainte U et l'autre sous la contrainte U

montrer que pour >0 assez petite à déterminer
inf_xUJ_k(x)=inf_xU

Noter :
i. la fonction f(x)=1/(kx) est continue et strictement convexe sur ]0,+[. Et en la considérant comme une fonction définie sur U (fonction g(X)=1/(kx_n), elle reste toujours continue et strictement convexe sur U. De plus elle est minorée sur U  par 0.
ii. la somme d'une fonction coercive avec une fonction minorée est coercive
iii. La somme de deux fonctions continues et strictement convexes est continue et strictement convexe
iv. la somme d'une fonction coercive

Ainsi :
J_k(X) = J(X) + 1/(kx_n), est continue, coercive et strictement convexe

La seule difficulté qui reste pour appliquer la méthode employée à la question précédente est que U n'est pas fermé du côté x_n=0

Pour parer à cette difficulté nous devons trouver le lambda suffisamment petit tel qu"indique l'énoncé.

Soit a la valeur minimale de J sur U₀, vue dans la question précédente. a minore J(U) (et c'est même sa borne inf à défaut d'être son minimum).
Soit (1,1,...,1) le vecteur 1. Appelons le 1.
J_k(1) = J(1)+1/k

Trouvons le lambda suffisamment petit tel qu"indique l'énoncé de manière à ce qu'il majore J_k(1).
=1/k * 1/(J_k(1) - a)
Soit = (a + ka_n)/k
Constatons que pour tout XU-U, J_k(X) > J(X) + 1/k
Or J(X) > a
D'où
J_k(X) > a + (J_k(1) - a) = J_k(1)

je vous remercie bien pour l'explication, j'ai bien compris l'astus mais ce qui reste un peu pas claire c'est le choix de l'ambda,j'ai compris pour quoi =1/k1/(J_k(1)-a)mais comment vous avez choisit = 1/k (a-(k a_n))
encore une question supplémentaire s'il vous plait monsieur, je veux écrire la condition de Kuhn et Tucker vérifiée par x^* minimum de J sur U₀
au cours si on a un ensemble K= {vV , (v)=<0} ou K = {vV,(v)=0} (contrainte inégalité ou contrainte égalité)
les conditions de Kuhn et Tucker sont:
₊^m appelées multiplicateurs de lagrange telque :
J^'(u) + _j=1^m _j ^'_j(u)=0
(u)=0
dans notre cas de cet exercice K= U₀= ^n-1[0,+[
j'ai pas pu déterminer la contrainte (u) pour faire sa dérivée et la calculée dans la condition de Kuhhn et Tucker

Sur le choix de lamda, ilfallait chercher un lamda suffisamment petit pour que son inverse soit suffisamment grand pour pouvoir exclure l'ensemble U-U. Le plus simple consistait a se baser par rapport un elemnt de U. Par simplicité j'ai pris le vecteur 1. Il fallait donc un lamda suffisamment petit pour que pour tout X   U-U, J_k(X)  > J_k(1).
X   U-U J_k(X) > J(X) + 1/k
Or  J(X) a
donc il suffisait que  a + 1/k soit supérieur ou égal à J_k(1). Prenons égal sera le plus simple.
a + 1/k = J_k(1) =1/k * 1/(J_k(1) - a).

Pour ta deuxième question je vais faire des recherches, car c'est un sujet que je j'ignore. Mais probablement que des matheux de passage répondront auparavant.

Bonne soirée demoiselle.

bonjour monsieur,
je vous remercie encore une fois, en fait ce que vous étiez entrain de l'expliquer dans le dernier message je l'ai bien compris dans le message d'avant, et j'ai bien compris ce choix de lambde d'où ça se vient, mais ma question c'était pour quoi  après vous choisîtes ce lambda vous avez écrit alors soit =1/k(a-(ka_n)) qu'il ne m'apparaît pas semblable à =1/k1/(J_k(1)-a)

c'est une coquille qui est restée par inadvertance.

ok merci monsieur, maintenant les choses sont plus clairs à cause de votre aide, j'ai vraiment de l'honneur de discuter ce problème avec vous, j'attend votre aide pour ma deuxième question et franchement j'ai d'autres questions mais j'ai peur de vous déranger!

L'honneur est partagé. et en plus c'était un plaisir.
Pour la deuxième question qui aborde des thèmes que je ne connais pas, je m'y plongerai si personne d'autre n'intervient.
Si tu as d'autres questions, n'hésite pas à les soumettre.

merci pour l'encouragement, voilà un autre problème où j'ai trouvée encore des difficultés
soit un ouvert borné de ⁿ et f et deux fonctions de L²() et soit
K={vH₀¹() tel que v=< p.p sur }
on considère le problème de minimisation suivant:
J(x)=min_vK1/2 (v(x)-f(x))²dx
1) montrer que K est un convexe fermé de L²()
2)si u est une solution de J(x), que représente u pour f
3) écrire l'inéquation d'Euler associée au problème
4)vérifier alors que u=min(,f)

Malheureusement cela dépasse mes connaissances. En effet, je ne sais pas ou bien je ne sais plus ce que L² ni ce que H₀¹ signifient.

Quoi qu'il en soit je note que l'expression de J(X) est erronée ou du moins comporte une ambiguité. En effet, le x de J(x) est certainement différent du x de dx présent dans l'intégrale.

oui vous avez raison monsieur, c'est ma faute en fait c'est j(v)

Avec V non plus ce n'est pas bon. ou du moins comporte une ambiguité. le V de J(V) et celui du "MIN" pour V appertenant à K.

notons u le min de J(v) pour vK
J(u)=min_vKJ(v) tel que J(v)=1/2(v(x)-f(x))²dx
je crois que cette fois est correcte

tu veux dire u=min... et non pas J(u)=min...

Sinon peux-tu me rappeler ce que L² et H₀¹ signifient. ainsi que l'expression "p.p", dans la définition de K.

PS: je reprends les maths après plus de vingt ans de rupture...

J(u)=min...
H₀¹()est la fermeture de D()dans H¹
H¹()={vL²() tel que grad de v L²()}
D()={v: de classe Cet à support compact}
on dit que vL²() si (v²)^1/2<

Merci pour les explications.

Je suppose que tu as pu faire le 1.
Quant à la question 2. Je ne comprends toujours pas J(u)=min..., puisqu'à l'intérieur u n'est pas cité. Si cette expression est une définition de la fonction J, il est aberrant que la variable ne soit pas citée. Et si cette expression n'est pas une définition de la fonction J, je ne comprends pas davantage.

Je reprendrai demain.

J est continue, coercive et fortement convexe sur L²() et comme K est un convexe fermé non vide alors le problème min_vK1/2(v(x)-f(x))²dx admet une solution unique notée u
que représente u pou f?
et vérifier que u=min(,f)

"J est continue, coercive et fortement convexe"
c'est très bien, mais dans la suite, je ne vois aucun lien avec J.

A moins que J soit définie comme étant J(x)=1/2(v(x)-f(x))²dx

je vais regarder ça.

je voulais dire J(V) et non J(X)

je peux vous donner ce que j'ai essayé : en écrivant l'inéquation d'Euler associée à ce problème;
₊un multiplicateur de lagrange tel que grad J(u) + grad (u)=0 et
(u)=0
traduisant ceci
(u(x)-f(x))dx +(u^'(x)- '(x))=0  et
(u(x)-(x))=0
si =0
f(x)=u(x)
si 0
on a toujours u(x)=f(x)
u^'(x)=_'(x)
u(x)=(x)
je sais plus est ce que c'est raisonnable ou non?

CORRECTEUR
Nous avons besoin d'aide ici.

Up

alors pas de nouvelles monsieur pour la correction de mon essaie ?

Je suis désolé Mlle. Mais cela dépasse mes compétences en maths.
Je te recommande d'ouvrir un nouveau thread pour cet essai, tout en vous référant au présent thread dans lequel des résultats intermédiaires ont été établis.