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Niveau master
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optimisation

Posté par
cyrinnarina
19-12-11 à 15:30

bonjour,
je suis entrain de réviser pour mon examen et je suis bloquer dans un exercice, si vous pouvez m'aider pour le résolu
soit J:R^n----R une fonction continue, coercive et strictement convexe.
pour s>0, on notera K'=R^n-1 * [s,+infini[, K =[0,+infini[ et l'ouvert U = R^n-1 *]0,+infini[
pour k appartient à N^* on introduit la fonction
                   Jk(x)= J(x)+1/k*xn ,       pour x=(x1,.......,xn) appartient à U

et on considère le problème

                        inf                  Jk(x)               (Pk)
                    x appartient à U
1) montrer que pour s>0 assez petit à déterminer,
                    
                          inf             Jk(x) =       inf                      Jk(x)
                      x appartient à U            x appartient à K'
2) en déduire que le problème (Pk) admet une solution unique x^(k)
3) montrer que la suite (x^(k)) converge vers x

Posté par
abou-salma
re : optimisation 20-12-11 à 08:28

Bonjour

J'ai du mal à lire l'énoncé. Pouvez-vous le réécrire.

Posté par
cyrinnarina
re : optimisation 20-12-11 à 13:47

je vous remercie pour votre intérêt, je vais attaché l'examen où j'ai trouvé le problème c'est exactement le problème 2 partie 1 ( un cas particulier de pénalisation intérieure)

Posté par
cyrinnarina
re : optimisation 20-12-11 à 14:32

désolé j'ai pas pu faire l'attachement car le fichier que j'ai est un pdf et ce site ne l'accepte pas
de toute façon je vais réécrit l'énoncé
Soit n IN avec n >= 2
et J : IRn IR     une fonction continue, coercive et strictement et convexe.
Dans la suite pour tout   on va noter
U = IRn-1 ],+[ et
U = IRn-1 ]0;+[      (remarquer que U est l'interieur de U0).
Pour tout k IN* on introduit la fonction
Jk : U IR defi nie par
Jk(x) = J(x) + 1/(kxn)      
x=(x1,.......xn)T U

Ia) Montrer que le probleme: trouver x* U0 tel que
(2)                 J(x*) = minyU0J(y)
a une solution et une seule.
Ib) Montrer que pour tout k IN* le probleme: trouver x(k) U tel que
(3)                 Jk(x(k)) = minyUJk(y)
a une solution et une seule.
Indication: Montrer que pour  > 0 assez petit (à preciser) on a:
infyU-UJk(y) > infyUJk(y)
Ic) Montrer que la suite J(x(k)) est bornee et en deduire que la suite x(k) est bornee.
Id) Montrer que la suite x(k) converge vers x* pour k.

Posté par
abou-salma
re : optimisation 20-12-11 à 17:18

NB1 : Si le pdf ne se trouve pas sur internet tu peux le placer en téléchargement sur internet avec un service comme google doc. Et s'il est sur internet, il suffit de donner le lien vers ce fichier.

NB2 : Tu dis que U est l'intérieur de U0. Je suppose que U=n-1x[,+[

I. Considérons x un point quelconque U (ie  le point (1,1,...,1)), et constatons:
    - J étant coercive, il existe une boule B de rayon r=||x||, au delà de laquelle J admet des valeurs > 1
    - J étant convexe et continue sur l'ouvert convexe non vide U de E, et x un U : Il existe alors une fonction affine continue A() qui minore la fonction J() sur U et qui coïncide avec elle en ce point (théorème de la Minorante affine). Par continuité, A() minore également J() sur n-1x{0}. Ainsi J est minorée par max(1, max  (A sur la boule B))
J est donc minorée. Elle admet par conséquent une borne inf. b.
Appliquons de nouveau la propriété de coercivité pour déduire l'existence d'une boule B2, au delà de laquelle J>b+1
L'image du compact B2, par l'application continue J à valeurs dans l'espace séparé , est compacte. C'est donc un fermé. bJ(B2).

Reste à démontrer l'unicité. Supposons qu'il existe deux points distincts où le minimum b est atteint. J étant strictement convexe, sa valeur au point situé au milieu est inférieure à b. c'est absurde.

J'avoue ne plus maîtriser la formulation mathématique rigoureuse nécessaire. Je te propose de retranscrire ce que je viens de dire et puis continuer le reste.

Posté par
abou-salma
re : optimisation 20-12-11 à 17:23

Petite erreur à rectifier:
l'intersection de B2[/sub] avec U[sub]0 est compacte. Il faut remplacer dans les 3 dernières lignes de mon message précédent B2 par cette intersection qui est également un compact.

Posté par
cyrinnarina
re : optimisation 20-12-11 à 21:09

je vous remercie pour l'explication , mais je veux vous avouer que j'ai pas trouvé une difficulté pour la 1ére question comme nous avons un corollaire au cours: si J est continue, coercive et strictement convexe, encore si la contrainte qui est dans notre cas U0= n-1 [0,+[ est un fermé convexe alors J admet un et un seul minimum global sur U0
la difficulté que j'ai eu c'est dans la question d'après comment je peux faire l'équivalence entre les deux problèmes; l'un se fait sous la contrainte U0 et l'autre sous la contrainte U
je réécrit la question:

montrer que pour >0 assez petit à déterminer
                     infxU0Jk(x)= infxUJk(x)

Posté par
cyrinnarina
re : optimisation 20-12-11 à 21:16

une faute à rectifier dans l'énoncé U=n-1[0,+[
vous avez déjà remarquer ça et U0= U

Posté par
cyrinnarina
re : optimisation 20-12-11 à 21:30

désolé U0= n-1[0,+[
et U=n-1]0,+[
alors de nouveau ma question comment je peux faire l'équivalence entre les deux problèmes; l'un se fait sous la contrainte U et l'autre sous la contrainte U

montrer que pour >0 assez petite à déterminer
infxUJk(x)=infxU

Posté par
abou-salma
re : optimisation 21-12-11 à 07:04

Noter :
i. la fonction f(x)=1/(kx) est continue et strictement convexe sur ]0,+[. Et en la considérant comme une fonction définie sur U (fonction g(X)=1/(kxn), elle reste toujours continue et strictement convexe sur U. De plus elle est minorée sur U  par 0.
ii. la somme d'une fonction coercive avec une fonction minorée est coercive
iii. La somme de deux fonctions continues et strictement convexes est continue et strictement convexe
iv. la somme d'une fonction coercive

Ainsi :
Jk(X) = J(X) + 1/(kxn), est continue, coercive et strictement convexe

La seule difficulté qui reste pour appliquer la méthode employée à la question précédente est que U n'est pas fermé du côté xn=0

Pour parer à cette difficulté nous devons trouver le lambda suffisamment petit tel qu"indique l'énoncé.

Soit a la valeur minimale de J sur U0, vue dans la question précédente. a minore J(U) (et c'est même sa borne inf à défaut d'être son minimum).
Soit (1,1,...,1) le vecteur 1. Appelons le 1.
Jk(1) = J(1)+1/k

Trouvons le lambda suffisamment petit tel qu"indique l'énoncé de manière à ce qu'il majore Jk(1).
=1/k * 1/(Jk(1) - a)
Soit = (a + kan)/k
Constatons que pour tout XU-U, Jk(X) > J(X) + 1/k
Or J(X) > a
D'où
Jk(X) > a + (Jk(1) - a) = Jk(1)

Posté par
cyrinnarina
re : optimisation 21-12-11 à 19:13

je vous remercie bien pour l'explication, j'ai bien compris l'astus mais ce qui reste un peu pas claire c'est le choix de l'ambda,j'ai compris pour quoi =1/k1/(Jk(1)-a)mais comment vous avez choisit = 1/k (a-(k an))
encore une question supplémentaire s'il vous plait monsieur, je veux écrire la condition de Kuhn et Tucker vérifiée par x* minimum de J sur U0
au cours si on a un ensemble K= {vV , (v)=<0} ou K = {vV,(v)=0} (contrainte inégalité ou contrainte égalité)
les conditions de Kuhn et Tucker sont:
+m appelées multiplicateurs de lagrange telque :
J'(u) + j=1m j 'j(u)=0
(u)=0
dans notre cas de cet exercice K= U0= n-1[0,+[
j'ai pas pu déterminer la contrainte (u) pour faire sa dérivée et la calculée dans la condition de Kuhhn et Tucker

Posté par
abou-salma
re : optimisation 21-12-11 à 20:36

Sur le choix de lamda, ilfallait chercher un lamda suffisamment petit pour que son inverse soit suffisamment grand pour pouvoir exclure l'ensemble U-U. Le plus simple consistait a se baser par rapport un elemnt de U. Par simplicité j'ai pris le vecteur 1. Il fallait donc un lamda suffisamment petit pour que pour tout X   U-U, Jk(X)  > Jk(1).
X   U-U Jk(X) > J(X) + 1/k
Or  J(X) a
donc il suffisait que  a + 1/k soit supérieur ou égal à Jk(1). Prenons égal sera le plus simple.
a + 1/k = Jk(1) =1/k * 1/(Jk(1) - a).

Pour ta deuxième question je vais faire des recherches, car c'est un sujet que je j'ignore. Mais probablement que des matheux de passage répondront auparavant.

Bonne soirée demoiselle.

Posté par
cyrinnarina
re : optimisation 22-12-11 à 12:39

bonjour monsieur,
je vous remercie encore une fois, en fait ce que vous étiez entrain de l'expliquer dans le dernier message je l'ai bien compris dans le message d'avant, et j'ai bien compris ce choix de lambde d'où ça se vient, mais ma question c'était pour quoi  après vous choisîtes ce lambda vous avez écrit alors soit =1/k(a-(kan)) qu'il ne m'apparaît pas semblable à =1/k1/(Jk(1)-a)

Posté par
abou-salma
re : optimisation 22-12-11 à 12:45

c'est une coquille qui est restée par inadvertance.

Posté par
cyrinnarina
re : optimisation 22-12-11 à 12:58

ok merci monsieur, maintenant les choses sont plus clairs à cause de votre aide, j'ai vraiment de l'honneur de discuter ce problème avec vous, j'attend votre aide pour ma deuxième question et franchement j'ai d'autres questions mais j'ai peur de vous déranger!

Posté par
abou-salma
re : optimisation 22-12-11 à 13:13

L'honneur est partagé. et en plus c'était un plaisir.
Pour la deuxième question qui aborde des thèmes que je ne connais pas, je m'y plongerai si personne d'autre n'intervient.
Si tu as d'autres questions, n'hésite pas à les soumettre.

Posté par
cyrinnarina
re : optimisation 22-12-11 à 13:34

merci pour l'encouragement, voilà un autre problème où j'ai trouvée encore des difficultés
soit un ouvert borné de n et f et deux fonctions de L2() et soit
K={vH01() tel que v=< p.p sur }
on considère le problème de minimisation suivant:
J(x)=minvK1/2 (v(x)-f(x))2dx
1) montrer que K est un convexe fermé de L2()
2)si u est une solution de J(x), que représente u pour f
3) écrire l'inéquation d'Euler associée au problème
4)vérifier alors que u=min(,f)

Posté par
abou-salma
re : optimisation 22-12-11 à 17:57

Malheureusement cela dépasse mes connaissances. En effet, je ne sais pas ou bien je ne sais plus ce que L2 ni ce que H01 signifient.

Quoi qu'il en soit je note que l'expression de J(X) est erronée ou du moins comporte une ambiguité. En effet, le x de J(x) est certainement différent du x de dx présent dans l'intégrale.

Posté par
cyrinnarina
re : optimisation 22-12-11 à 18:09

oui vous avez raison monsieur, c'est ma faute en fait c'est j(v)

Posté par
abou-salma
re : optimisation 22-12-11 à 18:51

Avec V non plus ce n'est pas bon. ou du moins comporte une ambiguité. le V de J(V) et celui du "MIN" pour V appertenant à K.

Posté par
cyrinnarina
re : optimisation 22-12-11 à 19:07

notons u le min de J(v) pour vK
J(u)=minvKJ(v) tel que J(v)=1/2(v(x)-f(x))2dx
je crois que cette fois est correcte

Posté par
abou-salma
re : optimisation 22-12-11 à 20:58

tu veux dire u=min... et non pas J(u)=min...

Sinon peux-tu me rappeler ce que L2 et H01 signifient. ainsi que l'expression "p.p", dans la définition de K.

Posté par
abou-salma
re : optimisation 22-12-11 à 20:59

PS: je reprends les maths après plus de vingt ans de rupture...

Posté par
cyrinnarina
re : optimisation 22-12-11 à 21:27

J(u)=min...
H01()est la fermeture de D()dans H1
H1()={vL2() tel que grad de v L2()}
D()={v: de classe Cet à support compact}
on dit que vL2() si (v2)1/2<

Posté par
abou-salma
re : optimisation 22-12-11 à 21:59

Merci pour les explications.

Je suppose que tu as pu faire le 1.
Quant à la question 2. Je ne comprends toujours pas J(u)=min..., puisqu'à l'intérieur u n'est pas cité. Si cette expression est une définition de la fonction J, il est aberrant que la variable ne soit pas citée. Et si cette expression n'est pas une définition de la fonction J, je ne comprends pas davantage.

Je reprendrai demain.

Posté par
cyrinnarina
re : optimisation 23-12-11 à 00:07

J est continue, coercive et fortement convexe sur L2() et comme K est un convexe fermé non vide alors le problème minvK1/2(v(x)-f(x))2dx admet une solution unique notée u
que représente u pou f?
et vérifier que u=min(,f)

Posté par
abou-salma
re : optimisation 23-12-11 à 06:14

"J est continue, coercive et fortement convexe"
c'est très bien, mais dans la suite, je ne vois aucun lien avec J.

A moins que J soit définie comme étant J(x)=1/2(v(x)-f(x))2dx

je vais regarder ça.

Posté par
abou-salma
re : optimisation 23-12-11 à 09:45

je voulais dire J(V) et non J(X)

Posté par
cyrinnarina
re : optimisation 23-12-11 à 13:30

je peux vous donner ce que j'ai essayé : en écrivant l'inéquation d'Euler associée à ce problème;
+un multiplicateur de lagrange tel que grad J(u) + grad (u)=0 et
(u)=0
traduisant ceci
(u(x)-f(x))dx +(u'(x)- '(x))=0  et
(u(x)-(x))=0
si =0
f(x)=u(x)
si 0
on a toujours u(x)=f(x)
u'(x)='(x)
u(x)=(x)
je sais plus est ce que c'est raisonnable ou non?

Posté par
abou-salma
re : optimisation 24-12-11 à 02:15

CORRECTEUR
Nous avons besoin d'aide ici.

Posté par
abou-salma
re : optimisation 29-12-11 à 20:09

Up

Posté par
cyrinnarina
re : optimisation 08-01-12 à 18:24

alors pas de nouvelles monsieur pour la correction de mon essaie ?

Posté par
abou-salma
re : optimisation 08-01-12 à 18:31

Je suis désolé Mlle. Mais cela dépasse mes compétences en maths.
Je te recommande d'ouvrir un nouveau thread pour cet essai, tout en vous référant au présent thread dans lequel des résultats intermédiaires ont été établis.

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