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Orthogonalité et produits sclaire
Bonjour, pourriez vous m'aider pour cet exercice s'il vous plait c'est pour un DM.
Voici l'exercice :
Dans un repère (O;
;
), considère les points A(-2;1) et B(4;-1).
1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).
2. On considère le point C (3;2).
C appartient-il à la droite (AB)?
3.Déterminer les coordonnées d'un vecteur n normal à (AB)
4. On appelle H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). HC est la distance de C à la droite (AB).
Expliquer pourquoi il existe un réel k
0 tel que CH(vecteur) = kn(vecteur n).
5. Calculer CH.n ( les vecteur CH et n) de deux manières différentes et en déduire la distance CH du point C à la droite (AB).
Merci d'avance pour votre aide.
bonjour,
toute équation de droite peu se mettre sous la forme ax + by + c = 0. Cette équation est dite cartésienne
toute équation de droite peut se mettre sous la forme ax + by + c = 0
Et le vecteur directeur est V( -b;a)
Bonjour,
Mais je ne comprend pas comment vous trouver l'équation de la droite avec seulement deux points pouvez vous m'expliquer? 
bon , on va reprendre:
pour simplifier, on va déterminer l'équation réduite qui est de la forme y=mx+p
A(-2;1) -> 1=-2m+p
B(4;-1). -> -1=4m+p
est-ce que pour l'instant, tu comprends ?
A(-2;1) -> 1=-2m+p
B(4;-1). -> -1=4m+p
système à résoudre :
1=-2m+p (1)
-1=4m+p (2)
<=>
1=-2m+p
1=-4m-p
--------------
2=-6m ou m=-2/6=-1/3
Si m=-1/3
alors dans 1=-2m+p, 1=-2*-1/3+p ou 1=2/3+p ou p=1-2/3 ou p=1/3
L'équation réduite -> y=-1/3 x + 1/3
ou
3y=-x+1
Ou
-x-3y+1=0
Ah d'accord merci.
Pour la question suivante il faut voir si les coordonnées du point C vérifie l'équation de la droite c'est bien ça?
Oui
Tu remplacés x par 3 et y par 2 dans l'équation trouvée précédemment.
Tu pourras conclure que le point C n'appartient pas à la droite
3.Déterminer les coordonnées d'un vecteur n normal à (AB)
-x-3y+1=0
vecteur normal (-1;-3)
rappel:
toute équation de droite peut se mettre sous la forme ax + by + c = 0
le vecteur normal n à (AB) est (a;b)
D'accord merci
Donc pour la question d'après ( la 4) on a :
n est un vecteur normal à (AB) cela signifie que que n est orthogonal à un vecteur directeur à D.
De plus, H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) donc (CH) est perpendiculaire à (AB). Donc le vecteur CH et orthogonal à la droite (AB) cela signifie que CH est également un vecteur normal à (AB).
n et CH sont deux vecteur normal à (AB) : il s'agit donc de deux vecteur colinéaire.
Ainsi il existe un réel k0 tel que CH = n
Pour la question 5 vous pouvez me guider s'il vous plait?
Bonjour
étant un vecteur normal à
est donc un vecteur directeur de (CH)
est aussi un vecteur directeur de (CH) par conséquent il existe un réel
tel que
Déterminons les coordonnées de H. Pour ce faire on écrit d'abord une équation de (CH)
les vecteurs sont colinéaires ou
H appartenant à(AB) et à (CH) ses coordonnées vérifient les équations des deux droites
vous résolvez ce système
autre
x= -3y+1
3(-3y+1) -y -7=0
x=-3y+1
-9y+3-y-7=0
x=-3y+1
-10y=4
x=-3y+1
y=-2/5
y=-2/5
x=6/5+1=11/5
On en déduit :
CH = 
0.64+5.76
CH = 6.4
CH 
2;5
Mais après je comprend pas ce qu'il faut faire pouvez vous m'aider.
et pour l'autre manière je ne sais pas comment trouver la norme de n
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