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parallélépipède
Bonsoir, j'aimerais savoir si quelqu'un pourrait m'aider à faire mon exercice. Merci d'avance.
Une unité de longueur étant choisi dans l'espace ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que CD= HD=1 et BC= 2. I est l milieu de l'arête [AD].
1) Quelles sont les coordonnées des points E, H, G?
2)a) Démontrez que le volume V du tétraèdre GFIH est égal à 1/3.
b) Démontrez que le triangle FIH est rectangle en I.
c) En exprimant le volume V d'une autre manière, calculez la distance du point G au plan (FIH).
3)a) Donnez une représentation paramétrique du plan (FIH) et de la droite (AG).
b) Déduisez-en les coordonnées du point K intersection du plan (FIH) et la droite (AG).
4) on note 
la sphère de centre G passant par K. Le plan (FIH) coupe-t-il la sphère ? Quelle est la nature de l'intersection? justifier.
Pour la première question, j'ai trouvé E( 0; 0; 1 ) H( 1; 0; 0 ) et G( 0 ; 1 ; 0 )
pour la 2a) je sais que le volume d'un tétraède est V= (a3*
2 )/ 12
a= le côté le plus long.
le problème que je rencontre c'est que je ne sais pas si je dois calculer la longuer FH.
pour la question 2b) je voulais faire la réciproque de pythagore.
salut
1/ quel repère choisis-tu ? car les coordonnées de E, H et G sont incohérentes ....
2a/ le tétraèdre FGHI est une pyramide de base le triangle FGH et de hauteur DH ....
2b/ oui si tu veux ... pour ma part je ferai bien plus simple ...
....
Bonjour,
relever les erreurs pour les signaler :
je sais que le volume d'un tétraède est V= (a3*
2 )/ 12
a= le côté le plus long.
le volume d'un tétraède régulier est V= (a3*
2 )/ 12
a= le côté (toutes les arêtes toutes égales à a)
si le tétraèdre n'est pas régulier cela n'a absolument aucun sens (réfléchis deux secondes cette formule serait indépendante des autres arêtes donc de la forme du tétraèdre ???)
pour un tétraèdre irrégulier, il faut le considérer comme une pyramide quelconque à base triangulaire
on peut choisir n'importe quelle face comme base, on chosiit celle qui donne des calculs les plus simples (parce que son aire est évidente et/ou que la hauteur corespondante est évidente)
la hauteur n'a aucune raison de tomber "au centre" de la base, ni même dans la base, la hauteur c'est la distance du sommet au plan de la base
dans cet exemple le tétraèdre est "incliné (vers l'observateur et vers la gauche) de sorte que le pied de la hauteur est là où je l'ai dessiné.
alors les coordonnées de H et G sont fausses ...
quant au 2a/ sortir une formule sans hypothèse n'a effectivement aucun sens ...
mais ma réponse de 01h36 suffisait pour corriger le tir :: un tétraèdre est une pyramide et on sait calculer le volume d'une pyramide depuis le collège ....
j'ai trouvé pour les coordonnées H( 1;0;1) et G(0;0;-1) C'est correcte?
oui, le volume d'une pyramide c'est (aire de la base * hauteur) /3
donc V= ((HD * AC )* HD)/3
= 2/3
H et G faux ...
volume peut-être mais bon les lettres utilisées ne sont pas celles que j'utiliserai ....
l'aire d'un triangle rectangle n'est de toute façon pas le produit des deux côtes de l'angle droit...
et puis dans l'énoncé il est écrit : montrer que ça fait 1/3
alors obtenir 2/3 est "visiblement faux" 
le repère est (A, AI, AB, AE) = (A, i, j, k)
donc AE = 0i + 0j + 1k <==> les coordonnées de E sont (0, 0, 1)
...
le oui est uniquement pour les coordonnées bien sûr, en réponse à "vous avez fait le chemin .." et c'est tout.
pour le volume c'est ça la réponse : 
en effet :
mais ma réponse de 01h36 suffisait pour corriger le tir
Jahmayma tient absolument à utiliser sa formule débile ...
Jahmayma :
elle est fausse cette formule, dès le départ.
tu la jettes définitivement et tu ne la resors plus jamais
(elle ne sert à rien)
la seule et unique formule de l'aire d'un tétraèdre c'est (1/3) base x hauteur
comme pour une pyramide
c'est à dire ici :
V = (1/3)
aire du triangle FGH hauteur
et la hauteur est égale à DH
pour que tu le voies bien ce tétraèdre qui est une pyramide (à base triangulaire) :
la base c'est FGH triangle rectangle de côtés de l'angle droit FG et GH
le sommet c'est I (il est la tête en bas)
la hauteur c'est donc la perpendiculaire IK de I au plan (FGH) de la base
et cette hauteur a même mesure que GH
remplacer textuellement dans la formule (la bonne) de l'aire d'une PYRAMIDE n'est tout de même pas sorcier !
:/ Merci, mais j'avais fini par trouver la formule. Après une journée.
J'ai fini par comprendre mon erreur.
J'ai fait la 2b) mais avec la méthode que j'ai fait, c'est pas trouvé qu'il était rectangle et la 2c je l'ai pas faite.
c'est pas trouvé qu'il était rectangle
pourtant il l'est ... (par la réciproque de Pythagore)
généralement quand on dit "prouver que ceci" c'est que c'est vrai
sinon la question est "le triangle est-il rectangle ?"
c'est comme pour la 2a, la valeur attendue est donnée dans l'énoncé et tant qu'on ne trouve pas ça c'est que son calcul est faux.
ici tant que tu ne trouves pas qu'il est rectangle, tu as faux.
la 2c nécessite de calculer l'aire de ce triangle, et tant mieux qu'il soit rectangle pour en calculer l'aire (sinon c'était pas gagné la 2c)
dommage ...car le produit scalaire IF.IH donne immédiatement le résultat ....
une remarque j'aurais plutôt pris le repère (A, AB, AI, AE) qui est direct ... mais ici l'orientation n'est pas nécessaire ....
carpediem : c'est vrai que l'exo étant un exo de terminale (sic) le produit scalaire est approprié ... j'avais pris le problème niveau 3ème en fait.
j'aurais plutôt pris le repère (A, AB, AI, AE)
c'était le repère proposé par Jahmayma au début. (le 04-03-14 à 09:07)ha damned ... alors ça change tout pour les coordonnées .... (j'ai raisonné avec AI, AB, AE) ....
certes on peut le faire en troisième avec le théorème de Pythagore ... mais il faut l'utiliser doublement pour FI ....
FI² = FK² + KI²
et FK² = FE² + EK²
donc FI² = (FE² + EK²) + KI²
ceci dit en Terminale on peut aussi calculer la norme de (et on obtient en fait la même chose)
on ne le "double" pas 
on fait deux fois le théorème de Pythgaore
une première fois dans FEK, puis une deuxième fois dans FKI
parce qu'il n'y a aucun triangle rectangle d'hypoténuse FI qui soit directement sur les côtés de pavé.
donc on est obligé de passer par un "intermédiaire" : le calcul de FK
alors que pour FH on a directement le triangle FEH (ou FGH, au choix c'est pareil)
et pour HI on a directement le triangle DIH
Terminale ...
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