Bonsoir,

Une piste ?
4n+2 = 2n+2n+2 = 2n+2(n+1)

j'avais déjà remarquer ça mais ça ne m'avait pas trop aider
j'ai même essayer de le démontrer par récurrence..mais j'ai échoué.  

merci etniopal

Pour terminer cet exercice qui ne semble pas passionner grand monde .

Soit n   . On pose   k = E((4n+2)^1/2)  et on veut montrer que k = E(n^1/2 + (n + 1)^1/2) .

Les inégalités     k²    4n + 2 < (k + 1)²  entrainent
    k² - 2 4n <  (k + 1)² - 2  
    k² + 2 4(n  + 1)<  (k + 1)² +  2  
   (k² - 2)^1/2 + ( k² + 2)^1/2   2(n^1/2 + (n + 1)^1/2) <  ((k + 1)² - 2)^1/2 +  ((k + 1)² + 2)^1/2  .

Il est facile de voir qu'on a : ((k + 1)² - 2)^1/2 +  ((k + 1)² + 2)^1/2   2(k + 1)  ( calcul ou concavité de x x^1/2)

Si on avait    2k   ( k² - 2)^1/2 + ( k² + 2)^1/2  on pourrait conclure ; mais malheureusement ce n'est pas la cas .
La minoration de 4n + 2 par k² est à améliorer .
Pour ça on remarque que 4n + 2 k² (sinon k est pair et si h = k/2 on a : 2n + 1 = 2h² ) .  On a donc  4n + 2 k² +1 et alors
4n k² - 1 ,
4(n + 1) k² + 3
2(n^1/2 + (n + 1)^1/2)   (k² - 1)^1/2 +(k² + 3)^1/2 2k .

Ainsi k   n^1/2 + (n + 1)^1/2 < k + 1 et  k = E(n^1/2 + (n + 1)^1/2) .

_{Sauf erreur}