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Partie entière et partie décimale

Posté par
Zalie24
09-09-09 à 16:49

Bonjour à tous !
J'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre :

Etude de la fonction E :

Pour tout réel x , il existe un unique entier relatif n tel que n inférieur ou égal à x qui lui est inférieur à n+1 .
cet entier n est appelé "partie entière de x" et est noté E(x).
par exemple , 2inférieur ou égal à 2,8 qui lui est inférieur à 3, donc E(2,8)=2
ainsi(x)=n signifie que x appartient à l'intervalle (n;n+1( ou encore que inférieur ou égal àx inférieur ou égal à n+1.

1) Tracer la courbe repésentative de E lorsque x est dans l'intervalle (-3 ; 4(

La partie décimale :

d est la foncton définie par R par d(x) = x-E(x)

1)Démontrez que, pour tout réel x, 0 inférieur ou égal à d(x) inférieur à 1
2)Démontrez que d est périodique


Pour la 1), je pensais remplacer d(x) par x-E(x)
Pour la 2), je ne sais pas du tout ce qu'est une fonction périodique ?

Merci de votre aide ...

Posté par
pythamede
re : Partie entière et partie décimale 09-09-09 à 18:46

Pour la 1)

E(x)\,\le\,x\,<\,E(x)+1

La deuxième inégalité peut être remplacée par :

x-1\,<\,E(x)

Et par conséquent on peut aussi écrire la même chose de la façon suivante :

x-1\,<\,E(x)\,\le\,x

Multiplions membre à membre par -1 :

-x+1\,>\,-E(x)\,\ge\,-x

Ajoutons x à chaque membre :

x-x+1\,>\,x-E(x)\,\ge\,x-x

soit :

1\,>\,x-E(x)\,\ge\,0

1\,>\,d(x)\,\ge\,0

Posté par
pythamede
re : Partie entière et partie décimale 09-09-09 à 18:50

Une fonction est dite périodique de période T si et seulement si f(x+T)=f(x) pour tout x !

Il est évident par aileurs que si T est une période, alors 2T aussi et 3T, et nT, pour tout n entier strictement positif.

Par conséquent, on ne dit pas T est LA période de f, mais plutôt T est UNE période de f. Si on a prouvé qu'aucun T' plus petit que T n'est période, on peut dire que T est LA PLUS PETITE PERIODE. Mais dans tous les autres cas, on se contentera de dire que T est UNE période de f.

Posté par
Zalie24
re : Partie entière et partie décimale 09-09-09 à 19:57

Merci de votre aide ! Je comprends mieux à présent.

Posté par
Zalie24
re : Partie entière et partie décimale 09-09-09 à 20:07

Une autre petite précision (je refais un copié-collé de l'exercice) :

Pour tout réel x , il existe un unique entier relatif n tel que n inférieur ou égal à x qui lui est inférieur à n+1 .
cet entier n est appelé "partie entière de x" et est noté E(x).
par exemple , 2inférieur ou égal à 2,8 qui lui est inférieur à 3, donc E(2,8)=2
ainsi(x)=n signifie que x appartient à l'intervalle (n;n+1( ou encore que inférieur ou égal àx inférieur ou égal à n+1.

Quels sont les nombres x tels que ?

a) E(x)=3
b) E(x)=-2
C) E(x)=0

Pour le a), j'ai mis 3 inférieur ou égal à x qui est inférieur à 4 donc x appartient (3;4(
Pour le b), j'ai mis -2 inférieur ou égal à x qui est inférieur à -1 donc x appartient (-2;-1(
Pour le c), j'ai mis 0 inférieur ou égal à x qui est inférieur à 1 donc x appartient (0;1(

Qu'en pensez-vous ? Et comment tracer la courbe représentative de E lorsque x est dans l'intervalle (-3;4(

Merci d'avance.

Posté par
pythamede
re : Partie entière et partie décimale 10-09-09 à 11:50

C'est bon.

La courbe ressemble à un escalier. Par exemple, on peut la représenter comme ceci :

Partie entière et partie décimale

Posté par
Zalie24
Partie entière et partie décimale 12-09-09 à 13:33

Bonjour à tous !
J'ai un problème pour quelques questions de mon exercice :

Etude de la fonction E :

Pour tout réel x , il existe un unique entier relatif n tel que n inférieur ou égal à x qui lui est inférieur à n+1 .
cet entier n est appelé "partie entière de x" et est noté E(x).
par exemple , 2inférieur ou égal à 2,8 qui lui est inférieur à 3, donc E(2,8)=2
ainsi(x)=n signifie que x appartient à l'intervalle (n;n+1( ou encore que inférieur ou égal àx inférieur ou égal à n+1.

1)Tracer la courbe représentative de E lorsque x est dans l'intervalle (-3;4)
2)Démontrez que, si x est un réel quelconque et p un entier relatif quelconque, alors E(x+p) = E(x) + p


La partie décimale :

d est la fonction définie sur R par d(x) = x-E(x)

3) Démontrez que d est périodique
4)Donnez au moins 5 réels différents, et pas ous du même signe, qui vérifient d(x) = 0,3
5) Tracer la représentation graphique de d lorsque x est dans (0;1( et déduisez-en alors la courbe représentaive de d sur R
Pour la 3), il faut s'aider de la 4) et de la 2)


Merci de votre aide ...

*** message déplacé ***

édit Océane : merci de ne pas poster ton énoncé dans des topics différents

Posté par
dagwa
re : Partie entière et partie décimale 12-09-09 à 14:17

Bonjour,

qu'as-tu fait ?

Pour montrer que E(x+p) = E(x) + p on peut remrquer que n\leq x< n+1 donc n+p\leq x+p< n+1+p. Ainsi E(x+p)=n+p=E(x)+p.

*** message déplacé ***

Posté par
Zalie24
re : Partie entière et partie décimale 12-09-09 à 14:57

Et bien, j'ai fait tout le reste de l'ex mais c'est ces questions où je bloque ...
Pour la 4), j'ai fait : d(1.3) = 1.3 - E(1.3)
d(1.3) = 1.3-1
d(1.3)=0,3
Mais je n'en trouve pas avec le signe négatif.

J'ai aussi du mal à démontrer que d est périodique et les courbes ?

*** message déplacé ***

Posté par
Zalie24
re : Partie entière et partie décimale 12-09-09 à 17:15

Personne ne sait ?

*** message déplacé ***

Posté par
Zalie24
re : Partie entière et partie décimale 13-09-09 à 11:25

Je suis désolé je n'avais pas vraiment lu les règles concenant les forum ! Mais j'ai compris maintenant !

Quelqu'un aurait-il une idée pour me dépanner à propos de mon exercice ?

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