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Petit problème d'intégration
Bonjour à tous,
Je pose une petite énigme (dont j'ai la solution) pour les adeptes de théorie de la mesure...
Existe-t-il une fonction f strictement positive, Lebesgue-intégrable sur [0;1], dont l'intégrale sur [0;1] soit nulle?
Si oui, donnez m'en une, si non, prouvez le moi...
:D
Ben moi je dirais qu'il n'y a pas de telle fonction ...
Je pense qu'on peut dire que 
n
tel que 
(f-1([1/(n+1); 1/n[) > 0 (en posant 1/0 = +
). Car sinon on aurait (f-1(
+) = 0 par union dénombrable de boréliens.
Donc si l'on prends le bon n, on a 
+ f 
[1/(n+1; 1/n[ f = (f-1([1/(n+1); i/n[) > 0
Je crois qu'on peut aller plus vite d'ailleurs ....
Par définition, + f = 0 
(f-1(+) = 0 f= 0 pp, ce qui est contraire à l'hyppothèse de départ ....
Je ne vois pas vraiment d'où sort la définition de l'intégrale... Mais je ne crois pas qu'elle soit juste... Enfin, disons que la rédaction est un peu en mode free-style quoi, non?
L'idée est la, la norme 1 est une norme sur les classes d'équivalence modulo la relation f~g ssi integrale de |f-g| = 0.
Si tu as une fonction positive, son intégrale est positive, si de plus l'intégrale est nulle, alors tu n'as pas le choix d'avoir une norme nulle, donc une fonction nulle pp...
Mouais, on n'entre pas vraiment dans une preuve, on regarde les choses de haut là... Si vous pensez réellement qu'il n'existe pas une telle fonction, il faudrait le prouver de façon rigoureuse.
la norme 1 est une norme sur les classes d'équivalence modulo la relation f~g ssi integrale de |f-g| = 0.
Alors d'où sort ce théorème...
C'est un théorème de base sur les espaces Lp. C'est le point de départ de toute la théorie des Lp.
En fait, l'inégalité triangulaire est triviale.
La positivité l'est également.
Il ne manque que le fait que ||f||=0 ssi f=0 ce qui est faux sur l'ensemble de toutes les fonctions intégrables. C'est la raison pour laquelle on quotiente par la relation que je précise, auquel cas c'est maintenant trivial. Ainsi on a bien un espace vectoriel normé, à condition d'identifier toutes les fonctions égales p.p.
Je vous prie de m'excuser, ma "définition" de l'intégrale est totalement délirante. Ca vient du fait de l'ancienneté de mes souvenirs. Mais pour le coup, j'y suis allé fort !!!!!!!
Mis à part ça, le fait que la norme 1 soit effectivement une norme telle que définie par thiblepri, c'est du cours de licence et la démonstration doit se trouver facilement ...
C'est la raison pour laquelle on quotiente par la relation que je précise, auquel cas c'est maintenant trivial.
Oui, la question est bien là: pourquoi la classe d'équivalence de la fonction nulle ne contient aucune fonction strictement positive?
SPDG on suppose que f<1.
Puisque f est L1, alors
où E_n={"1/n+1<f<=1/n"}
De plus on a
Ce qui permet de conclure.
Sauf erreur(s).
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