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plus grand diviseur commun

Posté par
shinta
11-01-08 à 23:37

Bonjour
Je n'arrive pas aboutir à la fin de cet exercice:
k étant un entier relatif, on pose:
x=2k-1   et    y=9k+4
1/Montrer que tout diviseur commun à x et y divise 17.
2/En déduire, suivant les valeurs de k, le plus grand diviseur commun de x et y.

1/4(2k-1)+(9k+4)=17k
Soit d un diviseur commun à x et y.
d divise x et d divise y donc d divise toute combinaison linéaire de x et y donc d divise 17k, donc d divise 17.

2/On sait que d divise 17. Or 17 est un nombre premier donc 17 n'admet pour seuls diviseurs que 1 et lui-même.
Donc soit d=1 soit d=17.Il faudrait donc trouver les valeurs de k tel que d=1 et ensuite les k tel que k=17.
En calculant tour à tour x et y selon des valeur de k entre 0 et 15, je me rend compte qu'une seule valeur convient pour que d=17, k=9. J'ai donc plutôt envie de chercher à prouver que cela est vraie seulement pour cette valeur. Pour cela, je me dis que puisque d divise x, y et 17 alors x et y doit diviser 17 (est ce que j'ai le droit?):ce qui me donne 2k-1=17q (q entier relatif), et 9k+4=17q' ( q' entier relatif).Et je trouve k=9! Super!
Seulement, en farfouillant un peu plus (eh oui quand on est pas expert en arithmétqiue on est réduit à farfouiller)je me rend compte qu'une autre
valeur de k convient, k=27. Que faire? Surtout que je ne vois pas quel est la rapport avec 9 mise a part que 27 est un multiple de 9 ( et ja'i essayé pour de nombreux multiples de 9 et aucuns ne convenaient)
Quelqu'un aurait une petite idée pour me mettre sur la route?
2/

Posté par
mr karibou
re : plus grand diviseur commun 11-01-08 à 23:56

question 1 faux,si k = 2, 2 divise 34= 2 * 17 mais ne divise pas 17,il faut ajouter une conditiondu style d ne peut pas diviser k (sinon x et y diviserait aussi ce nombre)

Pour la question 2 tu as de bonnes idées essaye d'exprimer k en fonction de q et q' ça pourrait déjà te donner une idée des valeurs de k qui marchent

Posté par
cailloux Correcteur
re : plus grand diviseur commun 12-01-08 à 00:01

Bonsoir,

1) Soit d un diviseur commun à x et y, alors, d divise 2y-9x=17

2) Ainsi PGCD(x,y)=1 ou PGCD(x,y)=1

Si PGCD(x,y)=17, 17 divise x

Il existe donc q' entier tel que x=2k-1=17q'

Alors, q' est nécessairement impair (sinon, x est pair)

Il existe donc q entier tel que q'=2q+1

d' où 2k-1= 34q+17, k=17q+9 ou bien k\equiv 9\;\;[17]

On a démontré l' implication:

PGCD(x,y)=17\Longrightarrow k\equiv 9\;\;[17]

Réciproquement, si k\equiv 9\;\;[17]

Alors, x=2k-1 \equiv 17\equiv 0\;\;[17]

et y=9k+4\equiv 85\equiv 0\;\;[17]

donc PGCD(x,y)=17

D' où l' équivalence: PGCD(x,y)=17\Longleftrightarrow k\equiv 9\;\;[17]

et si x\not\equiv 9\;\;[17], PGCD(x,y)=1 : x et y sont premiers entre eux.

Posté par
cailloux Correcteur
re : plus grand diviseur commun 12-01-08 à 00:04

Euh... à la dernière ligne:

et si k\not\equiv 9\;\;[17]\cdots

Posté par
shinta
re : plus grand diviseur commun 12-01-08 à 22:38

ok ok merci à tous!

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