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Polynôme caractéristique

Posté par
girdav 25-05-09 à 20:29

Bonjour.
Je recherche le polynôme caractéristique de la matrice
A_n =\begin{pmatrix} \\ 1&1&\cdots &1&1\\ \\ 2&1&\cdots&1&1\\ \\ \vdots&\vdots&\ddots& & \vdots\\ \\ n-1&n-2&\cdots&1&1\\ \\ n&n-1&\cdot&2&1 \\ \end{pmatrix}
Je n'ai pas réussi à trouver "directement" les valeurs propres. Alors je me suis lancé dans la calcul du déterminant de A_n-\lambda I_n. J'ai utilisé le fait que \begin{pmatrix} \\ 1\\ 1\\ \vdots \\1\\1-\lambda \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \\ 1\\ 1\\ \vdots \\1\\1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \\ 0\\ 0\\ \vdots \\0\\-\lambda \\ \end{pmatrix} pour arriver à:
\det(A_n-\lambda I_n) = -\lambda\det(A_{n-1}-\lambda I_{n-1})+ \begin{vmatrix} \\ 1-\lambda&1&\cdots &1&1\\ \\ 2&1-\lambda&\cdots&1&1\\ \\ \vdots&\vdots&\ddots& & \vdots\\ \\ n-1&n-2&\cdots&1-\lambda&1\\ \\ n&n-1&\cdot&2&1 \\ \end{vmatrix} \\
En fait cet exercice est tiré d'un contrôle du premier semestre.
Je n'ai pas eu de corrigé. Un de mes enseignents m'a dit qu'il y a une récurrence d'ordre 2 mais je n'arrive pas à la faire apparaître.
Merci d'avance.

Posté par
gbm Webmasterre : Polynôme caractéristique 25-05-09 à 20:43

Bonjour,

Calcule (An - xIn) puis en utilisant la méthode du pivot de Gauss...

Posté par
girdavre : Polynôme caractéristique 25-05-09 à 20:48

Mais le déterminant est-il calculable au niveau L2?
Et comment mettre en oeuvre le pivot de Gauss pour le cas n quelconque?

Posté par
lafol Moderateurre : Polynôme caractéristique 25-05-09 à 22:41

Bonjour

enlève la dernière colonne à toutes les autres, puis développe par rapport à la première ligne, et ça devrait se décanter ..
j'attrape une feuille et je vérifie

Posté par
girdavre : Polynôme caractéristique 26-05-09 à 22:44

Bonjour lafol.
J'ai essayé ça aussi mais je n'ai pas trouvé de truc exploitable. En effet on aura:
\begin{vmatrix} \\ -\lambda &0&\cdots &0&1\\ \\ 1&-\lambda&\cdots& 0&1\\ \\ \vdots& & \ddots&&\vdots\\ \\ n-2&n-3&\cdots&-\lambda&1\\ \\ n-1&n-2&\cdots&1&1 \\ \end{vmatrix} et lors du développement par rapport à la première ligne on a deux déterminants:
l'un qui correspond à celui-ci à l'ordre n-1 et l'autre qui reste tout aussi ardu.

Posté par
girdavre : Polynôme caractéristique 27-05-09 à 09:43

Encore moi!
Dans le dernier déterminant que j'ai écrit, on peut faire pour i\in \left{2,...n\right} L_i \leftarrow L_i-L_{i-1}.
Ensuite, en développant par rapport à la première ligne on obtient deux déterminants, disons E_{n-1} et F_{n-1} qui sont lié par le système:
\left\{ \begin{array} \\ E_n &=& (1+\lambda)E_{n-1}+\lambda F_{n-1} \\ \\ F_n &=& E_{n-1}+\lambda F_{n-1} \\ \end{array} \\ \right.
Le problème est donc de calculer A^n avec A=\begin{pmatrix} 1+\lambda & \lambda\\ \\ 1&\lambda \end{pmatrix} mais la "diagonalisabilité" de cette matrice dépend de \lambda.
Pouvez-vous confirmer ou me corriger?

Posté par
ilhtennisre : Polynôme caractéristique 27-05-09 à 15:56

bonjour , je crois mais je n'en suis pas sure
ça devient beaucoup plus facile quand on retranche à chaque ligne la ligne précédente en commençant par le bas et en gardant la 1ère ligne telle qu'elle , ensuite s'occuper de la 1ère ligne, la matrice devient presque diagonale ,
je suis désolée de ne pas avoir pu mettre mes calculs ici , car je suis nouvelle et je n'ai pas su écrire le déterminant

Posté par
girdavre : Polynôme caractéristique 27-05-09 à 20:38

Bonjour ilhtennis, et bienvenue.
J'ai exploré cette piste. Le problème est que la matrice est presque diagonale.
Lors du développement du déterminant il y aura deux termes.
Pour écrire un déterminant, on fait \begin{vmatrix} truc&truc\\
truc&truc
\end{vmatrix}  et on écrit \cdots pour des points horizontaux, \ddots pour des points diagonaux, et \vdots pour les verticaux.

Posté par
girdavre : Polynôme caractéristique 30-05-09 à 17:06

En fa

Posté par
girdavre : Polynôme caractéristique 30-05-09 à 17:10

En fait tu avais raison ilhtennis.
En faisant ce que tu suggères on arrive à:
\det(A_n-\lambda I) = (-\lambda)^n + E_{n-1}(\lambda) où E_n(\lambda satisfait à la relation
E_n (\lambda)= (1+2\lambda)E_{n-1} -\lambda^2 E-{n-2}

Posté par
jandri Correcteurre : Polynôme caractéristique 01-06-09 à 22:33

Bonsoir,

Il y a une petite erreur de signe dans la dernière formule donnée par girdav, c'est:
E_n (\lambda)= -(1+2\lambda)E_{n-1} -\lambda^2 E_{n-2}.

Le problème est intéressant et curieusement il y a une formule remarquable qui donne les coefficients du polynôme caractéristique de A_n (je l'ai conjecturée en calculant le déterminant pour n de 1 à 8).
Pour la démontrer j'ai d'abord fait comme girdav dans son premier message (j'utilise x à la place de ):
d_n=\det(A_n-x I_n) = -x d_{n-1}+ \begin{vmatrix} \\ 1-x &1&\cdots &1&1\\ \\ 2&1-x &\cdots&1&1\\ \\ \vdots&\vdots&\ddots& & \vdots\\ \\ n-1&n-2&\cdots&1- x&1\\ \\ n&n-1&\cdot&2&1 \\ \end{vmatrix} = -x d_{n-1}+ \begin{vmatrix} \\ 1-x &1&\cdots &1&1\\ \\ 1+x&-x &\cdots&0&0\\ \\ \vdots&\vdots&\ddots& & \vdots\\ \\ 1&1&\cdots&- x&0\\ \\ 1&1&\cdot&1+x&0 \\ \end{vmatrix}=-x d_{n-1}+(-1)^{n-1} e_{n-1}
avec e_n=\begin{vmatrix} \\ 1+x&-x &\cdots&0\\ \\ \vdots&\ddots&\ddots& \vdots\\ \\ 1&1&\ddots&- x\\ \\ 1&1&\cdots&1+x \\ \end{vmatrix}.
On montre ensuite en développant ce dernier déterminant par rapport à sa dernière colonne que e_n=(1+2x)e_{n-1}-x^2e_{n-2} (récurrence linéaire d'ordre 2). Mais les formules que l'on en déduit ne donnent pas simplement les coefficients du polynôme e_n.

Pour les obtenir j'introduis les polynômes P_n(x)=\Bigsum_{k\ge0}{n-k\choose k}x^k qui vérifient P_0=P_1=1 et P_{n+2}(x)=P_{n+1}(x)+xP_n(x) (par récurrence).
On montre enfin par récurrence (avec relations qui définissent d_n et e_n) que:
e_n=P_{2n}(x) et (-1)^nd_n=x^n-P_{2n-1}(x) qui sont des formules remarquablement simples.
remarque: les racines de ce polynôme n'ont rien de remarquable et à partir de n=6 il y a des racines non réelles.

Posté par
girdavre : Polynôme caractéristique 01-06-09 à 22:43

Brillante idée que d'introduire ces polynômes P.
J'avais utilisé ma formule du message précédent et j'étais arrivé à un truc assez horrible. La récurrence double se résolvait de façon différente selon si \lambda >-\frac{1}{4} (et oui il valait mieux prendre x, mais tant pis). Les formules sont assez horribles.
J'ai tapé ça avec Latex si ça interesse quelqu'un.

Posté par
jandri Correcteurre : Polynôme caractéristique 01-06-09 à 22:56

On peut simplifier ces formules "horribles" en posant x=y(y+1) ou encore: 2y+1=\sqrt{4x+1}.
On obtient avec mes notations:
4$ P_n(x)=\frac{(y+1)^{n+1}-(-y)^{n+1}}{2y+1} d'où:
4$ e_n=\frac{(y+1)^{2n+1}+y^{2n+1}}{2y+1} et 4$ (-1)^nd_n=x^n-\frac{(y+1)^{2n}-y^{2n}}{2y+1}.


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