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Polynôme caractéristique d'un produit.

Posté par
1 Schumi 1
17-06-08 à 18:42

Bonsoir à tous,

Un 'ti exo archi-classique:

Soient k un corps infini et A,B \rm\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{k}). Montrer que \rm\chi_{AB}=\chi_{BA}.

Ce que j'ai fait:
En fait, je n'ai réglé que le cas k est un sous-corps de C... Bref, j'ai rien fait.
L'idée était d'utiliser la densité de \rm GL_n(C) dans \mathfrak{M}_n(\mathbb{C}). Ca permet de torcher le problème en 2 temps 3 mouvements.

J'aimerais savoir si cet argument de densité peut s'étendre quelque soit le corps infini considéré. En fait, cela revient à se demander si \rm GL_n(k) est dense dans \mathfrak{M}_n(\mathbb{k}) quelque soit k infini.
Intuitivement, je dirai oui, mais l'argument qu'on donne dans C n'est plus valable. Notamment parce que le corps n'est ni supposé algébriquement clos, ni topologique!

Comment s'en sortir? Enfin, si c'est possible...
Et si vous avez une autre démontration pour la question d'origine, je suis prenant.

Merci d'avance.

Ayoub.

Posté par
rogerd
Polynôme caractéristique d'un produit. 17-06-08 à 19:14

Bonsoir Ayoub

Pour l'égalité de départ j'ai une idée:

Si on peut montrer que pour tout x dans K, on a det(AB-xI)=det(BA-xI), c'est terminé car, le corps étant infini, l'identité fonctionnelle des polynômes entraine l'identité formelle.

Fixons donc x et montrons det(AB-xI)=det(BA-xI).
Pour cela utilisons a qui ne soit pas valeur propre de A.
En écrivant I=(A-aI)(A-aI)^(-1) on a
det((A-aA)B-xI)=det(A-aA)(B-x(A-aI)^(-1))=det(B-x(A-aI)^(-1))(A-aI)=  det(B(A-aA)-xI).

L'égalité entre polynômes en a :det((A-aA)B-xI)=det(B(A-aA)-xI) a
lieu pour une infinité de valeurs de a (les a qui ne sont pas valeurs propres de A). Elle est donc vraie pour tout a, en particulier pour a=0, ce qu'on voulait démontrer.

Posté par
1 Schumi 1
re : Polynôme caractéristique d'un produit. 17-06-08 à 19:19

Salut rogerd,

Sympa comme méthode, c'est beaucoup plus naturel.
Et sinon, pour la densité, une idée?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynôme caractéristique d'un produit. 18-06-08 à 15:08

Bonjour Ayoub

Pour un corps quelconque, fut-il infini, la densité n'a strictement aucun sens. La démonstration de rogerd est parfaite.

Posté par
1 Schumi 1
re : Polynôme caractéristique d'un produit. 18-06-08 à 16:35

Ok Camélia, je pense avoir compris en quoi la question n'a pas de sens.

Et si je "réduis" la question (j'ai honte du jeu de mot) aux cas k=R? k=Q? Le résultat tient-il toujours?
Si tu connais la réponse, l'idée de la démo me suffira amplement, inutile de trop détailler.

Posté par
Nightmare
re : Polynôme caractéristique d'un produit. 19-06-08 à 02:04

Salut Camélia

Tant qu'on peut définir une norme sur notre corps, la densité prend un sens non?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynôme caractéristique d'un produit. 19-06-08 à 14:45

Bonjour à vous

Oui, bien sur si un corps infini est muni d'une topologie, la notion de densité a un sens. Pour le problème ici présent, si on veut utiliser des propriétés de GLn il faut déjà au minimum que le determinant soit continu, donc quelque chose comme "corps topologique"... Bien sur pour les sous-corps de C, on peut toujours se débrouiller, bien que en fait Q, n'érant pas un R-espace vectoriel, n'est pas vraiment normé!

Alors on peut faire des choses dans des corps munis d'une valuation, mais pour ce qu'on fait ici, la démonstration directe est la meilleure.

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