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Polynôme de Bernstein

Posté par
singe3
30-10-11 à 19:49

Bonjour

Je fais un exo sur les polynômes de Bernstein qui sont définis par :

Soit f une fonction de [0,1] dans un Espace Vectoriel Normé E
Pour tout n>0 le n-ième polynôme de Bernstein de f est B_{n,f}(x)=\sum_{k=0}^n f(\frac{k}{n})n\choose k x^k (1-x)^{n-k}

J'ai répondu aux questions suivantes :

- Pour f(x)=1 sur [0 ,1], je trouve \forall n>0  B_{n,f}(x)=1

- Pour f(x)=x sur [0 ,1], je trouve \forall n>0  B_{n,f}(x)=x

Mais je n'arrive pas à trouver la question suivante :
Il faut démontrer que pour f(x)=x^2 on a \forall n>0  B_{n,f}(x)=x^2(1-\frac{1}{n})+\frac{x}{n}

J'ai essayé de plusieurs manières, changements d'indices, dérivation. Mais je bloque.

Quelqu'un peut m'aider ?

Merci

Posté par
lolo271
re : Polynôme de Bernstein 30-10-11 à 20:06

Pourtant la dérivation me semble bien (comme tu as fait pour  x  d'ailleurs)

Posté par
singe3
re : Polynôme de Bernstein 30-10-11 à 20:12

salut,

Pour f(x)=x, j'ai d'abord remarqué que f(\frac{k}{n})n\choose k=\frac{k}{n}n\choose k=n-1\choose k-1

Ensuite j'ai mis le x en facteur devant la somme dans l'expression de B_{n,f}(x) et il apparait la formule de Newton on a x(x+(1-x))^{n-1}=x

Posté par
singe3
re : Polynôme de Bernstein 30-10-11 à 20:12

mais je n'ai pas dérivé pour f(x)=x

Posté par
lolo271
re : Polynôme de Bernstein 30-10-11 à 22:38

ok, mais on aurait pu , sinon  k^2 =  (k(k-1) + k   doit t'aider que tu dérives ou pas.

Posté par
singe3
re : Polynôme de Bernstein 31-10-11 à 13:07

je n'y arrive pas non plus avec k^2=k(k-1)+k, je tourne en rond et je retombe sur B_{n,f}(x)=\sum_{k=1}^n\frac{k}{n}n-1 \choose k-1x^k(1-x)^{n-k} et je ne sais plus quoi faire

Posté par
lolo271
re : Polynôme de Bernstein 31-10-11 à 16:38

avec  k(k-1) C(n,k) =  n(n-1)C( n-2, k-2)  tu devrais t'en sortir.

Posté par
singe3
re : Polynôme de Bernstein 31-10-11 à 19:43

Salut

Grâce à ta dernière indication je crois avoir trouvé.
Pour le terme x/n apparaissant dés la 2eme ligne j'ai utilisé le résultat pour f(x)=x pour aller plus vite
Comme c'est assez long à taper en latex je l'ai pris en photo.
C'est correct ?


Polynôme de Bernstein

Merci

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