Niveau Maths sup

Polynome de degré 3 dans C

Posté par
Buth 19-09-05 à 19:58

Bonsoir à tous, voilà je bloque un peu sur une partie d'un DM de maths, j'ai bien eu quelques idées mais qui n'ont pas vraiment abouties. Je vous donne les dernières questions où je bloque :

On considère maintenant l'équation (1) x^3+px+q=0 Soit l'une des racines de cette équation. On a (p;q)²

1) Montrer qu'il existe (u;v)² vérifiant :

| u+v=
| uv= $\frac{-1}{3}p$

On établira seulement l'existence de u et v sans chercher à les calculer en formant une équation du second degré de racines u et v.

2) (u;v) étant un couple de complexe vérifiant le système précédent, exprimer u³+v³ et u³v³ en fonction de p et q. En déduire que u³ et v³ sont racines de l'équation :

$Z^2 + qZ - \frac{1}{27}p^3$

Merci d'avance pour votre aide ou vos indices

Posté par re : Polynome de degré 3 dans C 19-09-05 à 21:16

Bonjour Buth

Cela me rappel fortement notre cher cardan, ce post est suceptible de t'aider

jord

Posté par re

olynome de degré 3 dans C 19-09-05 à 22:59

Bonsoir Buth;
Je crois q'un problème similaire figure dans un topic de l'ile ( c'est la methode dite de Cadran pour résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation du 3ième degré $x^3+px+q=0$ ).
Principe de la méthode:
On considére $\alpha\in\mathbb{C}$ une solution ( il en existe toujours )
puis on pose $\alpha=u+v$ avec $u,v\in\mathbb{C}$ (on peut toujours trouver de tels complexes)
l'équation devient alors:
$(u+v)^3+p(u+v)+q=0$ ou encore
$u^3+v^3+3u^{2}v+3uv^2+p(u+v)+q=0$ ou encore
$u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0$ ou encore
$u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0$
et là on remarque que si on choisit $u$ et $v$ vérifiant $3uv+p=0$ on se retrouve avec:
$u^3+v^3=-q$ et donc que le couple $(u^3,v^3)$ est solution du systéme:
$\fbox{X+Y=-q\\XY=-\frac{p^3}{27}}$
et par conséquent $u^3$ et $v^3$ sont les deux solutions de l'équation du second degré:
$\fbox{Z^2+qZ-\frac{p^3}{27}=0}$ (équation que l'on sait résoudre)
Donc si on arrive à prouver l'existence d'un couple $(u,v)$ tel que $\fbox{u+v=\alpha\\uv=-\frac{p}{3}}$ c'est gagné parce qu'on va pouvoir calculer $u^3$ et $v^3$ et par suite $u$ et $v$ pour aboutir à $\alpha=u+v$ .
Heureusement qu'un tel couple existe toujours puisque l'équation $z^2-\alpha z-\frac{p}{3}=0$ admet toujours des solutions complexes.
Voilà,j'ai essayé de t'expliquer le principe de la methode et j'espére que c'est assez clair

Posté par re : Polynome de degré 3 dans C 21-09-05 à 20:02

Merci pour ces renseignements, je vais étudier les différentes démonstrations que vous m'avez proposées

Par contre pour la question de mon DM, pour montrer que uv=-1/3p, il suffit simplement que je le pose ? Je n'ai pas besoin de faire autrement ?

Posté par re : Polynome de degré 3 dans C 24-10-05 à 19:03

Je remonte un peu le topic parce que je n'arrive pas vraiment à trouver la racine réelle de l'équation
$-x^3+x+1=0$

Si quelqu'un pouvait simplement me donner l'équation du second degré associée par la méthode de Cardan ? (la suite ça devrait aller)

Merci

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