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polynôme et endomorphisme.

Posté par
letonio
03-05-06 à 15:20

Bonjour à tous,
Je ne sais à nouveau pas trop comment aborder cet exo.

Soit E=IRn[X].  Pour tout P dans E, on définit f(P)= Q par la relation
Q(X)= ½ ( P(-X)- P(X) )

1) Montrer que f est un endomorphisme.
Je vous livre mon analyse du problème.

Soit P= \sum_{k=0}^l a_k X^k

f(P)= \sum_{k=0}^{l/2-1} a_{2k+1} X^{2k+1}


C'est-à-dire que de ce que je comprends, f  ne garde que les termes du polynôme dont les puissances sont impaires.

Je ne suis pas sûr de ce que je dois montrer pour prouver que f est un endomorphisme.
Je vois que si f : E->F   F est inclus dans E     car pour tout P différent de 0, degP= degf(P) +1

Mais je suppose que ce n'est pas suffisant…

Posté par
Rouliane
re : polynôme et endomorphisme. 03-05-06 à 15:41

Bonjour,


Il te suffit de montrer que f est une application linéaire et que F=E

Rouliane

Posté par
raymond Correcteur
polynôme et endomorphisme. 03-05-06 à 15:54

Bonjour.
Comme te dit Rouliane, il faut montrer que :
1°)2$\textrm P\in\math{R}_n[X]\Longrightarrow f(P)\in\mathbb{R}_n[X].
2°) 2$\textrm f(a_1P_1 + a_2P_2) = a_1f(P_1) + a_2f(P_2).
Tu n'as pas besoin de décomposer P pour cela.
Cordialement RR.

Posté par
letonio
re : polynôme et endomorphisme. 03-05-06 à 16:56

1)
Ok j'essaie de vous rédiger au propre l'exercice.

Soit P dans E
P = \sum_{k=0}^l a_{k}X^k
f(P)=\sum_{k=0}^{l/2-1} a_{2k+1}X^{2k+1}

or si P différent de 0  deg(f(P))= deg P -1  < deg IRn[X] et f(P) appartient à IRn[X]

si P=0    f(P)=0   et f(P) appartient à IRn[X]

De plus, soient P,Q dans IRn[X]
Soient a,b dans IR

F(aP+bQ)= ….= a/2(P(-X)-P(X) ) + b/2(Q(-X)-Q(X)) = af(P)+bf(Q)

Donc f est un endomorphisme sur E

2) Déterminer Im(f) et ker(f). Démontrer que kerf+imf = E   en somme directe.

On a vu que Im f= vect (X,X^3,…..,X^(2k+1) )    avec 2k+1 <= n,  k dans IN

Et ker f= vect (1,X^2,…., X^(2k) )   2k<= n,   k dans IN

Faut-il donner une explication ou est-ce que c'est évident ?

Or IRn[X] = (1,X,X^2,…..,X^n)
Et donc  puisque   V= (X,X^3,…..,X^(2k+1)) base de Imf
                               W= (1,X^2,…., X^(2k) )   base de kerf
Une base de E est obtenu en mettant bout à bout  V et W et
E= kerf + im f    en somme directe.


3) Déterminer une relation reliant f^2 et f. En déduire M le polynôme minimal de l'endomorphisme f.

On a    f^2=f
Et donc puisque le polynôme minimal d'un endomorphisme est le plus petit polynôme annulateur de cet endomorphisme, on a que :

M= X^2-X = X(X-1)


4) En déduire que f est diagonalisable. Ne pouvait-on pas obtenir ce résultat plus tôt ?

Donc les valeurs propres sont 0 et 1.
Or kerf= vect (1,X^2,…….,X^(2k) )     2k <= n
Ker (f-id)= vect (X,X^3,…….,X^(2k+1) )      k dans IN    2k +1<= n

Alors soit n est pair
Et dim(kerf)= (n-1)/2+1<=m(0)     dim (ker(f-id) )= (n-1)/2<= m(1)
Dans ce cas-là
Dim(kerf)+ dim ker(f-id) = n+1= dim IRn[X]
Donc    nécessairement   dimE(0)= m(0)   dim E(1)= m(1)

Soit n est impair
Et dim(kerf)= ((n+1)/2 <=m(0)    dim (ker(f-id)) = (n+1)/2<=m(1)
Et dans ce cas-là
Dim kerf+ dim ker(f-id)= n+1 = dim IRn[X]
Et donc nécessairement dimE(0)=m(0)   dim E(1)= m(1)

Et comme le polynôme minimal est scindé sur IR , on a que f est diagonalisable.




Mais on pouvait voir (en tout cas je crois )  que
f(1 )=0.1
f(X)=1.X

f(X^n)=   1.X^n si n impair
               0.x^n  si n pair

Et donc dans la base canonique B de IRn[X]
on a :
si n pair

mat (B,f)=  (   0 ______________0  
0 1 0__________ 0
0 0 0 0__________0
                        ……
                       0________________0 )

Ou si n impair on finit avec 1
(en bref on a une alternance de 0 et de 1 dans la diagonale, que des 0 ailleurs)
Donc dans cette base, f est sous forme diagonale donc f est diagonalisable.

Posté par
raymond Correcteur
polynôme et endomorphisme. 03-05-06 à 17:58

Rebonjour.
1°) Tu compliques trop, je t'avais dit de ne pas décomposer P.
Si P est de degré 2$\textrm\le n, alors 2$\textrm \frac{1}{2}[P(-X) - P(X)] également.
2$\textrm f(aP + bQ)(X) = \frac{1}{2}[(aP+bQ)(-X) - (aP + bQ)(X)]
= 2$\textrm\frac{1}{2}[aP(-X)+bQ(-X)-aP(X)-bQ(X)]
= 2$\textrm\frac{1}{2}[a[P(-X)-P(X)] + b[Q(-X)-Q(X)]]
= 2$\textrm af(P)(X) + bf(Q)(X)
Donc : f(aP + bQ) = af(P) + bf(Q).
2°) P dans Ker(f) signifie f(P) = O, donc, pour tout X, P(X) = P(-X) : P est un polynôme pair.
Là, on peut rentrer dans les détails, calcule f(Xk) = - Xk si k est impair, 0 sinon. Donc, Imf est l'ensemble des polynômes impairs. Comme tout polynôme P s'écrit :
2$\textrm P(X) = \frac{1}{2}[P(X) + P(-X)] + \frac{1}{2}[P(X) - P(-X)] = pair + impair et comme le seul polynôme pair et impair est le polynôme nul :
2$\textrm\mathbb{R}_n[X] = Ker(f)\bigoplus{Im(f)}.
3°) Je ne pense pas m'être trompé, j'ai trouvé f² = -f.
Alors, M(X) = X² + X = X(X + 1) est anulateur de f. Comme f est ni nulle ni égale à -id, M est le polynôme minimal de f. Comme il est scindé à racines simples, f est diagonalisable.
Cordialement RR.

Posté par
letonio
re : polynôme et endomorphisme. 03-05-06 à 18:54

Bon je m'étais planté dans un signe :/
Et c'est sûr que ce que j'ai fait n'était pas très subtil.
Mais bon au moins j'avais compris l'idée. On se console comme on peut

Dans le 2°), je comprends ce qui te permet de dire que E= kerf+imf en somme directe, mais je n'aurais jamais trouvé ça. Trop subtil pour moi.
Je ne suis pas encore assez à l'aise avec toutes les définitions...

Quelle était la manière plus rapide de voir que f est diagonalisable? Est-ce que c'est ce que j'ai écrit, (mis à part mon erreur de signe et la lourdeur de mon raisonnment) ?
C'est à dire qu'on remarque qu'on peut écrire dans la base canonique de E une matrice qui est sous forme diagonale?

Au fait un grand merci pour ton aide, c'était très clair

Posté par
letonio
re : polynôme et endomorphisme. 03-05-06 à 19:31

Je ne comprends pas ce qui permet de dire que si le polynôme minimal est scindé et à racines simples, alors f est diagonalisable.

Posté par
kaiser Moderateur
re : polynôme et endomorphisme. 03-05-06 à 20:54

Bonsoir letonio

Je ne sais pas si je te l'ai déjà demandé mais connaîs-tu le théorème de décomposition des noyaux ?
C'est grâce à lui qu'on démontre le fait qu'un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.

Kaiser

Posté par
raymond Correcteur
re : polynôme et endomorphisme. 03-05-06 à 20:58

Bonsoir.
2°) Tu aurais pu dire : prenons un polynôme P, en séparant ses termes en puisssance paire et impaires, on obtient deux polynômes : donc somme des sous-espaces. Le seul polynôme à la fois pair et impair est O : intersection réduite à O : donc somme directe.
Pour la suite tu pouvais aussi dire : le sous espace des impairs est associé à la valeur propre -1 et celui des paires à la valeur propre 0. Ces deux sous espaces étant supplémentaires, une réunion de bases de chacun d'eux donnera une base de vecteurs propres de l'espace entier : f est bien diagonalisable.
Un endomorphisme f est diagonalisable ssi son polynôme minimal est scindé à racines simples. Ce résultat s'explique par le théorème de décomposition des noyaux. Revois si cette notion figure dans ton cours.
Cordialement RR.

Posté par
letonio
re : polynôme et endomorphisme. 03-05-06 à 21:36

Oups kaiser (Modérateur) c'est vrai tu me l'as déjà dit.
Et c'est pire que ça. J'ai cherché et trouvé une démonstration dans un bouquin. Mais je n'ai pas été jusqu'au bout, parce que la fin est assez désagréable je trouve.
Comme quoi, ça rejoint ce que je t'ai dit à l'époque. Si je n'ai pas vu la démonstration, je n'intègre pas les théorèmes.
Désolé de vous faire répéter les choses

Posté par
letonio
re : polynôme et endomorphisme. 04-05-06 à 10:12

Ce que j'ai trouvé, c'est la démonstration du théorème qui permet de dire qu'une matrice est diagonalisable à partir du polynôme caractéristique, mais je ne connais pas le théorème de décompostion du noyau.
J'ai trouvé un énoncé sur le net, mais qui ne m'a pas paru très clair. Pourriez-vous m'énoncer ce théorème?

Posté par
kaiser Moderateur
re : polynôme et endomorphisme. 04-05-06 à 10:56

Bonjour letonio

Le théorème de décomposition des noyaux est le suivant :

Soit E un espace vectoriel et u un endomorphisme de E.
Soient P et Q deux polynômes premiers entre eux.

Alors \Large{Ker((PQ)(u))=Ker(P(u))\bigoplus Ker(Q(u))}

Remarque : pour ce théorème, on ne suppose pas que E est de dimension finie.


Kaiser

Posté par
jeanseb
précision 24-06-06 à 17:53

Excusez-moi de ressusciter un vieux post.

"un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples"

Peut-être est-il utile de préciser que ce théorème n'est une CNS qu'en dimension finie:

Par exemple l'endomorphisme de K[X]:

P-> XP'

L'image de  Xk est kXk

donc l'endomorphisme est diagonalisable (car il y a une base de vecteurs propres) mais n'a même pas de polynôme annulateur (car celui-ci aurait tous les entiers comme valeurs propres, et donc serait de degré infini).

Posté par
raymond Correcteur
re : polynôme et endomorphisme. 24-06-06 à 20:26

Bonsoir jeanseb.
Tu as raison, en dimension quelconque, un endomorphisme peut ne pas avoir de polynôme minimal. Par contre, si mes souvenirs sont exacts, on a le résultat suivant : si, en dimension quelconque un endomorphisme possède un polynôme minimal scindé à racines simples, il est diagonalisable. Dans ce cas, la diagonalisation s'entend de la manière suivante : l'espace est somme directe de ses sous-espaces propres.
Cordialement RR.

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