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Niveau Maths sup
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polynome et espace vectoriel

Posté par
geronimoo
26-03-09 à 20:17

Bonjour, pouvez vous m'aidez à résoudre cet exercice?

Soit P un polynome de n[X] avec f(P)=(X-a)(P'-P(a))-2(P-P'(a)) a étant un réel fixé et n2

je dois montrer que les polynomes non nuls de noyau de f ont tous le meme degré p que l'on déterminera
Donner Ker(f) et rg(f), puis à l'aide de la base E=(1,(X-a), (X-a)²,....(X-a)n)) donner une base de Im(f)

je n'y arrive pas du tout

Posté par
Drysss
re : polynome et espace vectoriel 26-03-09 à 21:01

Pour le Ker, si P est du Ker, tu as alors
(X-a)(P'-P(a))=2(P-P'(a))
Ils ont donc même coefficient dominant donc.....

C'est quoi rg(f)??
Pour l'image. Prends un polynome de Rn et décompose le sur la base E et essaye de balancer un polynome Q tel que f(Q)=P

Posté par
geronimoo
re : polynome et espace vectoriel 26-03-09 à 21:03

rg c'est le rang de f c'est à dire la dimension de l'image de f

Posté par
geronimoo
re : polynome et espace vectoriel 26-03-09 à 21:05

Pour le ker, je vois vraiment pas ce qu'on peut en déduire... dsl

Posté par
Drysss
re : polynome et espace vectoriel 26-03-09 à 21:16

Et bien si on note d le coefficient dominant de P.On pose n=deg P.
le coefficient de (X-a)(P'-P(a)) est nd. Le coefficent de 2(P-P'(a)) est 2d.
a non nul donc n=2.

Posté par
geronimoo
re : polynome et espace vectoriel 26-03-09 à 21:28

ah oui, j'avais pas penser à faire avec les coefficients dominants
Pour la base de f , il faut trouver un Q(x) spécial qui vérifie f avec f(Q)=P

Posté par
geronimoo
re : polynome et espace vectoriel 26-03-09 à 21:31

le polynome Q=P(X-a)² sa marche pas?

Posté par
geronimoo
re : polynome et espace vectoriel 26-03-09 à 21:32

non j'ai rien dit

Posté par
geronimoo
re : polynome et espace vectoriel 26-03-09 à 21:37

Q=(X-a)²-P/2

Posté par
Drysss
re : polynome et espace vectoriel 26-03-09 à 21:47

Et bien , si t'arrives pas à trouver comme ca, fais par analyse/synthèse ou par equivalence si tu veux pas faire de réciproque(la solution n'est pas simple, il va falloir résoudre une équation polynômiale.


Perso ma solution est, si on note P= somme Ak (x-a)^k. Il faut que A2=0 nécessairement.
Q= (-2A1-A0)/4 + (X-a)(A0-2A1)/4 +   somme de k=3 à n  des  Ak (X-a)^k /(k-2).

Refais le calcul parce que j'ai été très vite donc il y a surement une erreur . Et il me semble alors que l'image est les polynomes sans terme de degré 2.

Pour le rang, je n'ai pas encore vu donc je peux pas t'aider.

Posté par
geronimoo
re : polynome et espace vectoriel 26-03-09 à 21:54

ok merci je vais regarder à sa ... merci encore et bonne soirée



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