Bonjour, pouvez vous m'aidez à résoudre cet exercice?
Soit P un polynome de n[X] avec f(P)=(X-a)(P'-P(a))-2(P-P'(a)) a étant un réel fixé et n2
je dois montrer que les polynomes non nuls de noyau de f ont tous le meme degré p que l'on déterminera
Donner Ker(f) et rg(f), puis à l'aide de la base E=(1,(X-a), (X-a)²,....(X-a)n)) donner une base de Im(f)
je n'y arrive pas du tout
Pour le Ker, si P est du Ker, tu as alors
(X-a)(P'-P(a))=2(P-P'(a))
Ils ont donc même coefficient dominant donc.....
C'est quoi rg(f)??
Pour l'image. Prends un polynome de Rn et décompose le sur la base E et essaye de balancer un polynome Q tel que f(Q)=P
Et bien si on note d le coefficient dominant de P.On pose n=deg P.
le coefficient de (X-a)(P'-P(a)) est nd. Le coefficent de 2(P-P'(a)) est 2d.
a non nul donc n=2.
ah oui, j'avais pas penser à faire avec les coefficients dominants
Pour la base de f , il faut trouver un Q(x) spécial qui vérifie f avec f(Q)=P
Et bien , si t'arrives pas à trouver comme ca, fais par analyse/synthèse ou par equivalence si tu veux pas faire de réciproque(la solution n'est pas simple, il va falloir résoudre une équation polynômiale.
Perso ma solution est, si on note P= somme Ak (x-a)^k. Il faut que A2=0 nécessairement.
Q= (-2A1-A0)/4 + (X-a)(A0-2A1)/4 + somme de k=3 à n des Ak (X-a)^k /(k-2).
Refais le calcul parce que j'ai été très vite donc il y a surement une erreur . Et il me semble alors que l'image est les polynomes sans terme de degré 2.
Pour le rang, je n'ai pas encore vu donc je peux pas t'aider.
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