Salut

Si u est vecteur propre, vect(u) est stable.

Sinon on peut aller voir du côté de Cayley-Hamilton.

Une rotation du plan réel d'angle /2 n'admet aucune droite stable mais seulement un plan stable.
Faut corriger l'exercice soit tu mets : droite ou plan stable.
sois vous supposez que le corps de base est C et non R !! la précision du corps de base et important.

** edit modérateur : pas de pub, merci ! **

Voici :

En notant le polynôme minimal et mettons P un facteur irréductible de

On a deux possibilités :

P est de degré 1, le polynôme admet un vecteur propre, c'est bon.

Si P est de degré 2, on prend un vecteur non nul du noyau de notre polynôme appliqué à notre endomorphisme, l'espace engendré par ce vecteur et l'image du vecteur par l'endomorphisme est stable me semble-t-il.

Salut,

c'est quoi le corps de base?

Considère un facteur de degré 2 du polynome minimal: X²+aX+b, alors si tu prends x dans le Ker(u²+au+b), (x,u(x)) est stable.

Bon ca ca marche sur R, mais sur Q, si on prend pour polynome minimal par exemple X^3+X^2+X+1 qui est irréductible, tu trouveras pas de plan stable P(sinon le polynome minimal de la restriction de u à P diviserait X^3+X^2+X+1).

Enfin prends plutot X^4+X^3+X^2+X+1 sinon il est pas vraiment irréductible

merci pr vos réponses, le coprs de base est R et l'énoncé est :

"montrer en factorisant le polynome minimal que tt endomorphisme possède au moins une droite OU un plan stable"

petite question: qu'est-ce que le facteur irréductible d'un polynôme?

Un polynome P de K[X] est dit irréductible s'il ne peut s'écrire P=QR avec deg Q>=1 et deg R>=1(Q,R dans K[X]), tu peux pas le couper en facteurs plus petits.

Un polynome n'a pas q'un facteur irréductible en général, tu peux le décomposer sous la forme P=P1....PR où les PI sont des irréductibles.