Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... École ingénieur AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau école ingénieur
Partager :

:: polynômes ::

Posté par
Epicurien 11-10-08 à 15:44

Bonjour,

Voici l'exo:

Citation :
Soit P_n(x)=x^n+x^{n-1}+...+x+1

On note n=4p+q avec q\in\{0,1,2,3\}

Déterminer en fonction de q le reste dans la division euclidienne de P_n(x) par x^2+1

En déduire une condition sur n pour que P_n(x) soit divisible par x^2+1


et voici ce que j'ai fait:

Citation :
x^0\equiv1[x^2+1] \\ x^1\equiv x[x^2+1] \\ x^2\equiv -1[x^2+1] \\ x^3\equiv -x[x^2+1] \\ x^4\equiv1[x^2+1]

On en déduit que

\forall p\in\mathbb{Z} \\ \\ x^{4p}\equiv 1[x^2+1] \\ x^{4p+1}\equiv x[x^2+1] \\ x^{4p+2}\equiv -1[x^2+1] \\ x^{4p+3}\equiv -x[x^2+1]

On a donc \Bigsum_{k=0}^3x^{4p+k}=0[x^2+1]

Ccl: il faut que n=4p+3 pour que P_n(x) soit divisible par x^2+1


Merci de me dire c'est bon ou pas.

Posté par
Epicurienre : :: polynômes :: 11-10-08 à 16:21

En fait j'ai réussi je pense a donner une condition suffisante, mais comment faire pour la condition nécessaire?

Posté par
franzre : :: polynômes :: 11-10-08 à 16:40

C'est tout bon. Je ne vois pas ce qui t'empêche de procéder par équivalences.

Posté par
Epicurienre : :: polynômes :: 11-10-08 à 17:53

Ah, peut être pour tous les avoir devrai-je prendre les multiple de 4p+3 ?

Posté par
apaugamre : :: polynômes :: 11-10-08 à 18:05

pour bien montrer l'equivalence il faut calculer aussi P_n(x) pour n=4p, 4p+1, 4p+2, 4p+3
et constater que la seule valeur qui donne 0 c'est 4p+3

Posté par
Epicurienre : :: polynômes :: 11-10-08 à 18:11

Salut apaugam

Mais en fait je sais pas trop comment l'expliquer car je comprend (ça s'annule de "4en4") l'idée mais comment l'expliquer?

Posté par
apaugamre : :: polynômes :: 11-10-08 à 18:17

en ecrivant proprement une recurrence pour prouver 4 egalités
P_{4n}(x)=1 \\ P_{4n+1}(x)=x \\ P_{4n+2}(x)=-1 \\ P_{4n+3}(x)=0

Posté par
Epicurienre : :: polynômes :: 11-10-08 à 18:30

Oui, voilà mais de là a faire une récurrence , je vois pas quelle propriété à démontrer

4récurrences pour les 4égalités?

Posté par
apaugamre : :: polynômes :: 12-10-08 à 10:19


dans la mesure où l'on a déjà montré par recurrence
\forall p\in\mathbb{Z} \\ \\ x^{4p}\equiv 1[x^2+1] \\ x^{4p+1}\equiv x[x^2+1] \\ x^{4p+2}\equiv -1[x^2+1] \\ x^{4p+3}\equiv -x[x^2+1]
une seule recurrence pour les 4 assertions bien sur !

on fait de même pour les 4 assertions (en corrigeant au passage ma faute de frappe d'hier
P_{4n}(x)=1 \\ P_{4n+1}(x)=1+x \\ P_{4n+2}(x)=1+x-1=x \\ P_{4n+3}(x)=0
on n'est pas obligé de s'apesentir
pour n=0 le résultat es immédiat
supposons montré pour n alors pour n+1 on a
P_{4n+4}(x)=P_{4n+3}(x)+x^{4n+4}=1\\ \\ P_{4n+5}(x)=P_{4n+4}(x)+x^{4n+5}=1+x\\
etc ....


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !