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Niveau Maths sup
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polynomes de Chebyshev

Posté par
saintser
06-03-09 à 09:41

Salut à tous!

Voilà arrivé le DM tant redouté.. les polynomes de Chebyshev!

En premiere partie, on fait connaissance avec ledit polynome que l'on note Tn et défini par T0=1, T1=X et pour tout n, Tn+2 = 2XTn+1 - Tn

On a vu que Tn est de degré n, son coefficient dominant est 2n-1, la fonction polynome associée xTn(x) possède la même parité que n, et pour tout n, Tn(1)=1.

Je dois montrer que 2TnTm=Tn+m+Tn-m pour tout (m,n)², mn
j'ai essayé, mais je ne peux rien faire avec ce que j'obtiens. on doit procéder par récurrence.. de même, je dois aussi démontrer que TnoTm = Tnm

mais surtout, pour la deuxieme partie:
polynomes de chebyshev et trigonométrie.

je dois montrer que pour tout et pour tout n,
Tn(cos) = cos(n) et Tn(ch) = ch(n)..

J'ai tenté avec les formules de développement de cosn mais ça devient trop compliqué et pas trop gérable.. et à part ça j'ai aucune idée..



Voilà, si vous arrivez à me décoincer, je pense que ça m'aidera beaucoup pour la suite! Merci d'avance !

Eddy.

Posté par
saintser
re : polynomes de Chebyshev 06-03-09 à 09:43

petite rectif:

je dois montrer que 2TnTm=Tn+m+Tn-m

Posté par
jandri Correcteur
re : polynomes de Chebyshev 06-03-09 à 22:39

Bonjour saintser,

A mon avis il est plus simple de commencer par montrer (par récurrence d'ordre 2) que Tn(cos(x))=cos(nx).
Ensuite on a facilement que 2T_nT_m=T_{n+m}+T_{n-m} et T_n\circ T_m=T_{nm}.
La propriété avec ch se montre aussi par récurrence.

Posté par
jandri Correcteur
re : polynomes de Chebyshev 07-03-09 à 11:09

Rebonjour,

Tu es dans la même classe que parano?
Tu peux lire la réponse que je lui ai faite ce matin car il a le même problème que toi.



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