Salut à tous!
Voilà arrivé le DM tant redouté.. les polynomes de Chebyshev!
En premiere partie, on fait connaissance avec ledit polynome que l'on note Tn et défini par T0=1, T1=X et pour tout n, Tn+2 = 2XTn+1 - Tn
On a vu que Tn est de degré n, son coefficient dominant est 2n-1, la fonction polynome associée xTn(x) possède la même parité que n, et pour tout n, Tn(1)=1.
Je dois montrer que 2TnTm=Tn+m+Tn-m pour tout (m,n)², mn
j'ai essayé, mais je ne peux rien faire avec ce que j'obtiens. on doit procéder par récurrence.. de même, je dois aussi démontrer que TnoTm = Tnm
mais surtout, pour la deuxieme partie:
polynomes de chebyshev et trigonométrie.
je dois montrer que pour tout et pour tout n,
Tn(cos) = cos(n) et Tn(ch) = ch(n)..
J'ai tenté avec les formules de développement de cosn mais ça devient trop compliqué et pas trop gérable.. et à part ça j'ai aucune idée..
Voilà, si vous arrivez à me décoincer, je pense que ça m'aidera beaucoup pour la suite! Merci d'avance !
Eddy.
Bonjour saintser,
A mon avis il est plus simple de commencer par montrer (par récurrence d'ordre 2) que Tn(cos(x))=cos(nx).
Ensuite on a facilement que et .
La propriété avec ch se montre aussi par récurrence.
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