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Position relative de deux courbes

Posté par
Toffu
18-09-11 à 10:45

Bonjour,  
J'aurai besoin de votre aide sur un exercice de fonction :

Soit x un nombre réel strictement positif
1. Comparer x et 1/x sur l'intervalle ]0;-[

Donc là j'ai fait: Soit x > 0
x et 1/x ]0;-[
tel que 1/x < x

2.En déduire la position relative des courbes représentatives des fonctions f et g telles que f(x)=x et g(x)=1/x en fonction de x.

Donc là je suis partie comme ça: Soit f et g définie sur ]0;-[
x, 1/x ]0;-[ tel que 1/x < x
f(x)-g(x) = x - 1/x

Mais je bloque :S Il faut que je trouve si f(x)-g(x) est soit positif soit négatif, pour en déduire si  la fonction f(x) est eu dessus, ou en dessous de la fonction g(x) mais je bloque avec le calcule >.<

Merci d'avance pour votre aide,
Toffu.

Posté par
Leonegres
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 10:49

Bonjour Tofu,

Humm .... je ne suis pas convaincu que tu aies pris cet exo dans le bon sens, si je peux me permettre .

Léo

Posté par
Leonegres
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 10:50

Je n'avais pas vu ....

]0,-[   ?????

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 10:57

Bonjour,
attention à l'écriture de l'intervalle...
puisque x > 0 il s'agit de ]0;+[...

Citation :
Donc là j'ai fait: Soit x > 0
x et 1/x ]0;+[
tel que 1/x < x


tu n'as strictement rien démontré......
pour comparer x et 1/x tu dois calculer la différence

x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x²}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x²-1}{x}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}
comme x>0 cela revient à étudier le signe de (x - 1)....

Posté par
Leonegres
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 11:05

Bonjour Tilk.

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 11:10

Bonjour Leonegres

Posté par
Toffu
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 11:12

Oups je suis vraiment désolé, c'était l'intervalle : ]0; +[
Merci de votre aide,

donc ca me donne : x+1 =0 ou x-1 =0
x=-1 et x= 1
d'où x>0 donc x=1

et après je compare ?
(Hum...je suis pas sure d'avoir tout compris >.<)

Posté par
Leonegres
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 11:15

Je laisse Tilk, beaucoup plus qualifié que moi.

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 11:55

pour comparer x et 1/x
1) tu calcules la différence x - 1/x : c'est fait

2) tu étudie le signe de cette différence

tu as
x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}

tu pourrais faire un tableau de signes, mais ici il est plus simple de remarquer que :

puisque x > 0, alors (x + 1) est aussi positif et que le signe de

dépend uniquement du signe du facteur (x - 1) (règle des signes...)

Si (x - 1) est positif, c'est à dire x - 1 > 0, alors \dfrac{(x+1)(x-1)}{x}>0 car tous les facteurs ont positifs

Si (x-1) est négatif, c'est à dire x - 1 < 0, alors \dfrac{(x+1)(x-1)}{x}<0 car, sur les 3 facteurs, un seul est négatif

reste à savoir quand x-1 est positif ou négatif....
pour le savoir,il suffit de résoudre l'inéquation
x - 1 > 0
x > 1

en conclusion

Lorsque x > 1 alors (x - 1) > 0 donc \dfrac{(x+1)(x-1)}{x}>0 et x > 1/x
font color=blue>
Lorsque x < 1 alors (x - 1) < 0 donc \dfrac{(x+1)(x-1)}{x}<0 et x < 1/x

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 12:01

..clic trop rapide


Lorsque x < 1 alors (x - 1) < 0 donc \blue \dfrac{(x+1)(x-1)}{x}%3C0 et x < 1/x


maintenant tu peux en déduire la position des deux courbes

Posté par
Leonegres
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 12:04

Le "Click Tilk" ça s'appelle ....

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 12:05

oui...

Posté par
Toffu
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 12:33

Merci beaucoup pour votre aide! J'ai beaucoup mieux compris. ^^

Donc j'en déduis que étant donné que f(x)-g(x) >0 ( vu que ca revient à (x-1)(x+1)/x >0)
que pour tout x réel de ]0;+[ la fonction f est strictement au dessus de la courbe g.

Merci merci beaucoup!!
Bonne journée,

Toffu.

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 13:56

Citation :
Donc j'en déduis que étant donné que f(x)-g(x) >0 ( vu que ca revient à (x-1)(x+1)/x >0)
que pour tout x réel de ]0;+[ la fonction f est strictement au dessus de la courbe g.


non, c'est inexact, tu n'as pas bien lu ce que je t'ai écrit......
relis mes posts

tu as deux cas à envisager :
1er cas : x < 1
et
2nd cas : x > 1

Posté par
Toffu
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 18:25

Oh...
Mais quand on résout l'inéquation x-1> 0 et qu'on trouve x > 1 on a encore besoin de d'envisager les deux cas ? ^o)

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 18:39

j'aurais dû préciser : tu as deux cas à envisager lorsque tu conclus

x]0;+[
il faut donc voir quelle est la position des courbes quand x < 1
puis quelle est la position des courbes quand x >1

pour avoir une idée,sur ta calculatrice graphique, trace sur un même écran les deux courbes lorsque x > 0 tu verras ainsi laquelle est au dessus de l'autre et pour quelles valeurs de x...

tu peux aussi utiliser Geogebra pour tracer les deux courbes...

Posté par
Toffu
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 18:57

Mmmh...je suis un peu perdue :S Dans notre cours le prof était partie sur un simple calcul, je pensais pas que c'était aussi complexe >.< Enfin les fonctions et moi c'est pas vraiment ça aussi :S

Je comprend pas pourquoi le résultat de l'inéquation ne nous sert pas vraiment ?

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 19:26

encore une fois tu n'as pas bien lu ce que je t'ai écrit....

quand 0 < x < 1 alors x - 1/x < 0 donc x < 1/x ce qui signifie que la courbe représentant f est au dessous de celle représentant g


quand x > 1 alors x - 1/x > 0 donc x < 1/x ce qui signifie que la courbe représentant f est au dessus de celle représentant g

quand x = 1 x - 1/x = 0 cela signifie que la courbe représentant f coupe celle représentant g
je te joins le graphique : en rouge la courbe représentant f et en bleu la courbe représentant g....

Position relative de deux courbes

Posté par
Toffu
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 19:55

Ah d'accord!!  Je pensais qu'il suffisait de démontrer qu'un seul cas, je pensais pas qu'il fallait faire les 3 cas, lorsqu'il est négatif, positif, et égale.
Là c'est bon je pense avoir bien compris! Je vais m'occuper de bien tout présenter et de tout bien relire aussi
En tout cas merci beaucoup d'avoir pris de votre temps pour m'aider!
Bonne soirée,

Toffu.

Posté par
Leonegres
re : Position relative de deux courbes 18-09-11 à 21:50

A bientôt alors.

Léo

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