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probabilité et polynome de Bernstein

Posté par
robby3
17-03-08 à 19:10

Bonsoir tout le monde,
dans cette exercice c'est le passage d'une égalité que je saisi pas...

Soit f une application continue sur [0,1] et (X_n)_n une suite de var independantes suivant la loi de Bernouilli B(x) ou x\in [0,1].

=>Montrer que E\(f\(\frac{1}{n}.\Bigsum_{k=1}^{n}X_k\)\) converge vers f(x) quand n tend vers l'infini.
En déduire que la suite de polynomes (B_n)_n définie par:
B_n(x)=\Bigsum_{k=0}^{n}f(\frac{k}{n}).C_n^k.x^k(1-x)^{n-k} pour x\in [0,1] converge simplement vers f sur [0,1].

En fait je fais sans probleme le début mais le en déduire...?
dans la correction ils mettent
Comme \Bigsum_{k=1}^{n}X_k suit la loi binomiale B(n,x) (ça ok),on voit que E\(f\(\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^n X_k\)\)=B_n(x)
moi je vois rien!

Posté par
kaiser Moderateur
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 19:26

re robby

c'est une simple application du théorème de tranfert (celle qui étant donnée une variable aléatoire réelle Y et une fonction continue f, permet d'exprimer Ef(Y) en utilisant la loi de Y).

Kaiser

Posté par
robby3
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 19:37

re
euhh le theoreme de transfert?

je vois pas du tout comment tu l'applique là?
tu peux expliciter un tout petit peu s'il te plait?
E(f(Y)) en principe ça va donner l'integrale de f*densité de Y.
en fait ce qui me gene c'est le f(\frac{k}{n})

Posté par
kaiser Moderateur
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 19:44

En fait, regarde ça plutôt comme \Large{E(f_{n}(Y))}, Y suivant la loi binômiale B(n,x) et \Large{f_{n}(t)=f(\frac{t}{n})}.

Kaiser

Posté par
robby3
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 19:50

ah oui!!
non mais j'avais zappé le 1/n devant!!
Ok c'est bonn j'ai pigé!
Merci encore Kaiser!

Ultime question de la soirée si tu as 1minute de plus
Pourquoi \frac{1}{\epsilon^2}E\(\(\frac{S_n}{n}-E(Y_1)\)^2\)=\frac{1}{\epsilon^2.n^2}Var(S_n)

j'ai développé et moi j'ai
\frac{1}{\epsilon^2}.E\((\frac{S_n}{n})^2-2\frac{S_n.E(Y_1)}{n}+(E(Y_1))^2\)
meme par linéarité de l'espérance(car indépendance des trucs dedans)...j'arrive pas à ce qu'il faut?

Posté par
robby3
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 19:52

est-ce que E[1]=0.?

Posté par
kaiser Moderateur
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 20:00

Citation :
est-ce que E[1]=0.?


non ça vaut 1 (l'espérance d'un constante c'est la constante elle-même).

Par contre, dans ton message de 19h50, ne développe surtout pas : l'espérance est linéaire donc, à cause du carré, le n sort au carré.

Autre chose : c'est quoi \Large{S_n} et c'est quoi \Large{Y_1} ?

Kaiser

Posté par
robby3
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 20:06

Ah oui...

S_n=\Bigsum_{k=1}^n Y_k
et Y_n=X_n.X_{n+1}
les X_n sont indépendants et de meme loi tel que E(X_1^2)<+\infty

Posté par
kaiser Moderateur
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 20:34

OK, dans ce cas :

1) par définition, quelle est l'expression de \Large{Var(S_n)} ?
2) calcule \Large{E(S_n)} et déduis-en ton égalité.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 20:34

oups :

pour le 2), calcule cette espérance en fonction de \Large{E(Y_1)}.

Kaiser

Posté par
robby3
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 20:40

Var(S_n)=E[S_n^2]-E[S_n]^2
 \\ E[S_n]=??

en fait le calcul de Var(S_n) ça viens dans une question aprés...

Posté par
kaiser Moderateur
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 20:47

Mais on ne va pas la calculer explicitement ici, donc pas de problème.

et sinon, pour le calcul de l'espérance ( il faut utiliser la linéarité de l'espérance)

Kaiser

Posté par
robby3
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 20:49

la linéarité de l'espérance mais les Y_n ne sont pas indépendants entre eux!
ou ça n'a rien à voir?

Posté par
kaiser Moderateur
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 20:54

la linéarité de l'espérance est toujours vraie (c'est quand même une intégrale, ne l'oublie pas).

on a toujours E(X+Y)=E(X)+E(Y) quelles que soient les variables aléatoires réelles X et Y.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 20:54

C'est pour le produit qu'il y a quelque chose.

Kaiser

Posté par
robby3
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 20:59

ok,autant pour moi
donc E[S_n]=E[\Bigsum_{k=1}^{n}Y_k]=\Bigsum_{k=1}^{n}E[Y_k]...là par contre tu me dis de calculer ça en fonction de E[Y_1]
mais les Y_n étant dépendants,on n'a pas que c'est égale à n.E(Y_1)

sinon je poursuis j'ai \Bigsum_{k=1}^{n}\(E[X_k].E[X_{k+1}]\)

Posté par
kaiser Moderateur
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 21:21

Si justement, c'est bien égale à n fois cette espérance.
En effet, comme les couples \Large{(X_i,X_{i+1})} ont même loi car les \Large{X_i} ont même loi (il suffit de l'écrire) alors les \Large{Y_i=h(X_i,X_{i+1})} (avec h(u,v)=uv) ont même loi.
Du coup, toutes ves variables ont même espérance.

Cela dit, tu peux poursuivre avec ton dernier calcul : Les \large{X_i} ont même loi donc même espérance.

Kaiser

Posté par
robby3
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 21:42

ah oui d'accord,tout ça vient du fait qu'elles ont meme loi!
ok ça fait n.E(Y1).
on a donc:
E[S_n]=n.E[Y_1]
 \\ E[S_n^2]=E[\Bigsum_{k=1}^n {Y_k}^2]=\Bigsum_{k=1}^n E[{Y_k}^2]=n.E[{Y_1}^2] ??

Posté par
kaiser Moderateur
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 21:50

il y a une bug, le carré de la somme, ça n'a jamais été (sauf exception) la somme des carrés.


Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 21:58

Je dois m'absenter pendant un peu plus d'une demi-heure. Je reviendrai ensuite, si tu es encore là.

Kaiser

Posté par
robby3
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 22:02

oublions 21:42.


je reprends mon développement de 19:50...
j'ai donc 5$ \rm E\((\frac{S_n}{n})^2-2\frac{S_n.E(Y_1)}{n}+(E(Y_1))^2\)=\frac{1}{n^2}E[{S_n}^2]-E[Y_1]^2=\frac{(E[S_n^2]-n^2.E[Y_1]^2)}{n^2}=\frac{Var(S_n)}{n^2}
c'est bon,c'est fini?

Posté par
robby3
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 22:03

ok Kaiser,je crois qu'on a terminé
Bonne fin de soirée!
Et encore une fois MERCI!

Posté par
kaiser Moderateur
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 22:44

Mais je t'en prie !
eh oui, c'est fini !

cela dit : tu pouvais ne pas tout développer car on a aussi \Large{V(S_n)=E((S_n-E(S_n))^2)} (cette formule est vraie pour n'importe quelle variable aléatoire. D'ailleurs, c'est même la définition)

Posté par
robby3
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 22:50

oui je l'ai vue dans mon bouquin mais trop tard!!
on était déjà parti dans les calculs(qui me font pas de mal )
Mais dans notre cours le prof ne l'a pas évoqué comme celà...Tans pis,j'en aurais deux définitions et je sais montré que c'est pareil

Merci encore et bonne fin de soirée!
Pour ma part je vais dormir

Posté par
kaiser Moderateur
re : probabilité et polynome de Bernstein 17-03-08 à 22:52

OK, bonne nuit !

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