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probas dans un demi-cercle

Posté par
bilbo
12-06-16 à 14:27

n points indépendants sont choisis uniformément sur le périmètre d'un cercle.
Quelle est la probabilité p(n) qu'il existe un demi cercle contenant tous les n points ?

Posté par
Zrun
re : probas dans un demi-cercle 12-06-16 à 16:54

Ce que je vais écrire n'est peut-être qu'une succession de bêtise.
   En notant k le diamètre du cercle, son périmètre vaut k et tu veux que la distance maximale entre les deux points extrémaux, au sens où deux points sont extrémaux si un des deux arc entre ces deux points contient tous les autres, soit de k/2 .
Voilà bon après il doit y avoir une récurrence sur n mais comme je l'ai dit je ne connais pas la réponse.

Posté par
mdr_non
re : probas dans un demi-cercle 12-06-16 à 18:25

bonsoir : )

As-tu regardé ce qu'il se passait pour n = 2, n = 3, ... ?

Il y a une claire relation de récurrence entre p(n+1) et p(n) (grâce à l'hypothèse d'indépendance justement) de sorte que tu puisses déduire p(n).

Posté par
verdurin
re : probas dans un demi-cercle 13-06-16 à 22:19

Bonsoir,
je dois bien dire que la relation de récurrence ne me semble pas claire, et le problème assez difficile.

On a de façon évidente p(2)=1, et de façon presque évidente p(3)=5/8.
Mais le calcul de p(4) me semble difficile.
Il est vrai que je ne suis pas vraiment en forme...

Posté par
mdr_non
re : probas dans un demi-cercle 14-06-16 à 00:05

Bonsoir verdurin,

N'aurais-tu pas oublié la condition d'indépendance ?

De mon côté, on a également de façon évidente p(2) = 1.


Voici comment je raisonnais : partons d'un point quelconque que nous considérons comme référence pour une orientation d'angle e.g. sur [0 , 2\pi]. Le deuxième point rencontré  appartient forcément au même demi-cercle que le premier point (car fait un angle \Theta \in [0 , \pi] avec le premier point) de sorte que p(2) = 1.
Le troisième point rencontré maintenant : n'y a-t-il pas une probabilité de 1/2 qu'il soit dans le même demi-cercle que les deux précédents ? Car celui-ci est choisi uniformément sur le cercle et de façon indépendante.

Plus en détail, soit n \geq 3 points choisis sur le cercle.
On désigne par \Theta_i la variable aléatoire qui au point n \geq i \geq 3 du cercle associe son angle (par rapport au point de référence).

Nous avons \Theta_i \sim U\left([0 , 2\pi]\right) et p_3 = P\left(\Theta_3 \in [0 , \pi]\right) = 1/2, p_4 = P\left(\Theta_3 \in [0 , \pi] , \Theta_4 \in [0 , \pi]\right) = P\left(\Theta_3 \in [0 , \pi] \right)P\left(\Theta_4 \in [0 , \pi]\right) = 1/4, ...

Posté par
verdurin
re : probas dans un demi-cercle 14-06-16 à 00:44

Citation :
Le troisième point rencontré maintenant : n'y a-t-il pas une probabilité de 1/2 qu'il soit dans le même demi-cercle que les deux précédents ? Car celui-ci est choisi uniformément sur le cercle et de façon indépendante.

Non.
Supposons que, par extraordinaire, les deux premiers points soient confondus alors la probabilités que le troisième point soit dans le même demi-cercle est égale à 1.

Pour être plus précis :
soit l'angle (positif par définition) entre le premier et le second point.
Les trois points ne sont pas dans le même demi-cercle  avec une probabilité \frac{2\pi-\alpha}{2\pi}

Il suffit de faire un calcul d'intégrale évident pour trouver p(3)=5/8.

Ce que tu calcules est la probabilité pour que tous les points soient dans le demi-cercle d'extrémité  A0 et contenant A1.

Ce qui n'est pas la même chose que « tous les points sont dans  le même demi-cercle »

Posté par
mdr_non
re : probas dans un demi-cercle 14-06-16 à 00:57

Je ne pense pas qu'ils soient correct de considérer le cas où tous les points soient confondus, car il n'y aurait alors qu'un seul point et la probabilité est nulle.

On considère nécessairement au moins n \geq 2 points distincts.

Citation :
Ce que tu calcules est la probabilité pour que tous les points soient dans le demi-cercle d'extrémité  A0 et contenant A1.

Ce qui n'est pas la même chose que « tous les points sont dans  le même demi-cercle »
Non justement car j'ai pris des angles orientés. La probabilité que tous les points soient dans le même demi-cercle est la probabilité que tous les points fassent un angle de [0 , \pi] avec le premier point de référence.

Posté par
mdr_non
re : probas dans un demi-cercle 14-06-16 à 01:04

L'orientation du sens est donné par le deuxième point.

Posté par
verdurin
re : probas dans un demi-cercle 14-06-16 à 01:20

Citation :
La probabilité que tous les points soient dans le même demi-cercle est la probabilité que tous les points fassent un angle de [0 , \pi] avec le premier point de référence.

Non.
Un exemple avec des angles en radiant et le  premier point à 0 :
0 ; /4 ; 3/2.

Posté par
mdr_non
re : probas dans un demi-cercle 14-06-16 à 01:34

Ok je vois ce que tu veux dire mais cette situation ne peut pas se produire dans mon cas car les points sont pris à la suite (dans le sens d'orientation donné par le deuxième point).

Bon si on veut une autre façon : soit n \geq 2 points du cercle.

On commence par choisir au hasard un point qu'on nomme A vec n possibilités et de ce point fixons B son diamétral opposé.
On forme là deux demi-cercles C_{AB} et C_{BA}.

Pour chacun des points restant la probabilité qu'ils soient dans C_{AB} ou C_{BA} est de 1/2.

Pour que tous les points restant soient dans C_{AB} ou C_{BA} la probabilité conjointe est donnée par \frac{1}{2^{n-1}}.

Enfin, la probabilité totale est donnée par \frac{n}{2^{n-1}}.

Cette approche confirme la précédente approche.

Posté par
LeDino
re : probas dans un demi-cercle 14-06-16 à 14:36

Bonjour à tous ,

J'ai regardé rapidement p3 de mon côté... Et j'ai trouvé  p3=3/4.
Après lecture de vos contributions, j'ai la même approche que verdurin, mais je ne trouve pas 5/8...

J'intègre  (2pi - alpha)/(2pi)   avec alpha variant uniformément de 0 à pi.
Peux-tu vérifier ou donner ton calcul verdurin ?

Posté par
mdr_non
re : probas dans un demi-cercle 14-06-16 à 14:42

Mon tout premier calcul de p(3) = 1/4 en fait n'était pas p(3) car j'avais oublié de compter les trois possibilités dans le choix du premier point.
Dans mon dernier message en revanche je le corrige bien et j'ai p(3) = 3/4 aussi.

Posté par
LeDino
re : probas dans un demi-cercle 14-06-16 à 15:09

J'ai fait une vérification expérimentale...
... et il semble bel et bien que :   p3 = 5/8 = 62.5%.

Je vais revoir mon calcul (mais pas tout de suite).
Bon courage si vous avancez entretemps .

Posté par
LeDino
re : probas dans un demi-cercle 14-06-16 à 15:34

Lol !

Bon finalement, il y avait une erreur dans la condition d'évaluation de ma simulation.
Je trouve bien :  p3 = 3/4 = 75%

Il faut intégrer sur la moitié du contour et raisonner par symétrie.
Ce qui recoupe le calcul intégral...

En attendant vos avis...

Posté par
etniopal
re : probas dans un demi-cercle 14-06-16 à 15:38


On  modélise  l'expérience " n points indépendants sont choisis uniformément sur le périmètre d'un cercle " par :
  = [0 , 2[n   
F = tribu de Borel de  
P = (1/(2)n).    est la  mesure de Lebesgue de n restreinte à F .
Pour k  {1,...,n} , Xk :        est l'application x = (x1,....,xn)   xk .

p(n) est alors P(Max(Xj ) - Min(Xj)   ) qui est  (1/(2)n.P{ x   | Max(xj)   } = { x   [0 , 1[n | Max(xj)   1/2}

Posté par
LeDino
re : probas dans un demi-cercle 14-06-16 à 15:42

Je tire trois nombres a, b, c uniformes sur  I = [ 0 ; 1 ].
Je retranche de ces nombres modulo 1 la quantité a.
J'ai donc  0,  x,  y  avec  x et y uniformes sur I.

Pour  x  allant de 0 à 1/2,  y doit être inférieur à 1/2 ou supérieur à x+1/2
Pour  x  allant de 1/2 à 1,  je prends les symétriques de x et y  (1-x et 1-y)... et même condition.

La simulation sur 10000 cas donne  75%  plus ou moins 1%
Et le calcul intégral donne 3/4 :

P3 = 2 * Somme de x=0 à 1/2 de (1-x)dx = 3/4

Posté par
veleda
re : probas dans un demi-cercle 14-06-16 à 16:21

bonjour,
pour p(3) j'avais raisonné ainsi

on a deux points A et A' sur le cercle  et B et B'  leurs diamétralement opposés
un troisième point sera sur un demi cercle  passant par A et A' s'il est sur le demi cercle de diamètre A'B' passant par A (EA) ou sur celui de diamètre AB passant par A'(EA')
p(3)=p(E_A\cup E_A')=p(E_A)+p(E_A')-p(E_A)P(E_A')=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{2}=\frac{3}{4}

Posté par
LeDino
re : probas dans un demi-cercle 14-06-16 à 16:58

Bonjour veleda,

C'est très astucieux.
Au minimum on voit bien que l'aire interdite varie de 0 à 1/2 (donc 1/4 en moyenne), contre l'aire autorisée qui est son complémentaire (donc 3/4).

Quant à voir pourquoi il y a indépendance entre E et E' autorisant à avoir P(E et E') = P(E)*P(E')...
... c'est déjà un peu plus sioux comme intuition ...

Posté par
etniopal
re : probas dans un demi-cercle 14-06-16 à 19:38

Erreur dans ce que j'ai dit . Je corrige et  prends plutôt  
= [- , [n    
F = tribu de Borel de  
P = (1/2n).  où    est la  mesure de Lebesgue de  n  restreinte à F .
et pour k   {1,...,n} , Xk    désigne  l'application x = (x1,....,xn)   xk .

  p(n) est alors P(|Max( |Xj ) - Min(Xj| )  ( au lieu de " p(n) est alors P(Max(Xj ) - Min(Xj ) " )  donc :
p(n) = { x [-1 , 1[n :  | Max( xj ) - Min(xj | 1 }

Comme est invariante par t -t  on a : p(n) = 2(A) où  A =  { x [-1 , 1[n | 0   Max( xj ) - Min(xj   1 } .

Posté par
etniopal
re : probas dans un demi-cercle 15-06-16 à 02:18

Non , ce n'est pas encore ça !

Posté par
LeDino
re : probas dans un demi-cercle 15-06-16 à 03:20

Par simulation :

P4 ~ 50.00%
P5 ~ 44.36 %

Posté par
mdr_non
re : probas dans un demi-cercle 15-06-16 à 03:42

Ce qui collerait bien à p(4) = 4/2^3 = 1/2 mais pas à p(5) = 5/2^4 = 5/16.

Posté par
LeDino
re : probas dans un demi-cercle 15-06-16 à 04:02

Je vais donc vérifier ma simulation pour P5 (demain).

C'est un peu fastidieux parce que je dois trier les valeurs sur le cercle (de mesure 1) pour ensuite déterminer le plus grand écart entre deux points consécutifs. Si ce plus grand écart est plus grand que 1/2 tout tient dans un demi cercle.

Je ne pense pas avoir fait d'erreur, mais les vérifications sont longues, donc j'ai pu passer à côté de quelque chose...

Posté par
trapangle
re : probas dans un demi-cercle 15-06-16 à 09:05

Bonjour,

Avec un petit programme on se fatigue moins :
p(3) ≈ 75.02598%
p(4) ≈ 49.98332%
p(5) ≈ 31.22382%
p(6) ≈ 18.75654%
p(7) ≈ 10.94055%
p(8) ≈ 6.25731%
p(9) ≈ 3.51797%

J'ai repris la méthode de LeDino (du Dino ?) et j'ai fait 10 000 000 d'essais pour chaque n.

Posté par
Recomic35
re : probas dans un demi-cercle 15-06-16 à 10:14

mdr_non a déjà donné la réponse exacte. Je reformule sa solution.

Soient A_1, \ldots, A_n les n points. On les suppose tous distincts et qu'il n'y en a pas de diamétralement opposés (ça ne représente qu'une partie négligeable).  Je note T_k l'événement "il n'y a aucun point A_\ell avec \ell\neq k dans le demi-cercle partant de A_k et allant dans le sens direct". L'événement "tous les points A_k sont dans un même demi-cercle" est la réunion disjointe des T_k pour k allant de 1 à n (il y a au plus un arc de cercle délimité par les A_k d'angle > \pi). Par ailleurs il est clair que la probabilité de T_k est 2^{-(n-1)}.
La probabilité de "tous les points A_k sont dans un même demi-cercle" est donc n2^{-(n-1)}.

Posté par
LeDino
re : probas dans un demi-cercle 15-06-16 à 10:36

Bonjour,

Merci trapangle, pour cette vérification.
Après vérification, mon tri était mal fait (désolé... j'avais peu de temps et je n'avais pas Python sous la main)...
Je confirme donc  P5 ~ 31.26%

Attention : avec 10 millions de simulations, on a trois chiffres significatifs et un quatrième qui n'est qu'approximatif.

Il serait plus juste d'afficher à 0.1% près :

p(3) ≈ 75.0%
p(4) ≈ 50.0%
p(5) ≈ 31.2%
p(6) ≈ 18.8%
p(7) ≈ 10.9%
p(8) ≈ 6.3%
p(9) ≈ 3.5%

La loi trouvée par mdr_nom semble donc très bien confirmée (à la précision près) :

P(3) = 75%
P(4) = 50%
P(5) = 31,25%
P(6) = 18,75%
P(7) = 10,9375%
P(8) = 6,25%
P(9) = 3,515625%

Posté par
mdr_non
re : probas dans un demi-cercle 15-06-16 à 10:38

Ok merci Recomic35 pour la reformulation.

Posté par
Recomic35
re : probas dans un demi-cercle 15-06-16 à 10:39

Le résultat étant certain, une simulation ne sert qu'à montrer que la simulation est correctement faite.

Posté par
LeDino
re : probas dans un demi-cercle 15-06-16 à 10:46

Oui effectivement, la solution de mdr_non est une généralisation à tout  n  de celle de veleda pour n=3.
Et la reformulation de Recomic35 est (pour moi) plus claire.

J'avoue que j'ai peu investi sur le calcul théorique... finalement très accessible avec les "demi-cercles pivotants"....

Bien vu.

Posté par
LeDino
re : probas dans un demi-cercle 15-06-16 à 10:49

Citation :
Le résultat étant certain, une simulation ne sert qu'à montrer que la simulation est correctement faite .
J'ai simulé parce qu'il semblait y avoir une hésitation.
... Et aussi parce que j'aime bien simuler ...

Si j'avais pris le temps de voir que mdr_non n'était que le cas général de veleda, je me serais épargné ce travail effectivement inutile ...

Posté par
Recomic35
re : probas dans un demi-cercle 15-06-16 à 11:15

Non, les calculs faits montrent bien que l'approche de mdr_non n'est pas une généralisation de celle de veleda : \dfrac12+\dfrac12 - \dfrac12\times\dfrac12, ce n'est pas vraiment le même calcul que 3\times \dfrac14.

Posté par
LeDino
re : probas dans un demi-cercle 15-06-16 à 11:51

Laisse moi le temps d'y réfléchir.

Posté par
verdurin
re : probas dans un demi-cercle 15-06-16 à 21:04

Juste un mot pour vous demander de bien vouloir excuser mes erreurs.
Disons que je n'étais vraiment pas en forme.

Sinon, je pense que les simulations ne prouvent rien : il faut vérifier que le code de la simulation est correct, sans parler du générateur aléatoire, qui peut aussi poser des problèmes.
Mais il est vrai que les simulations sont stimulantes.

Posté par
etniopal
re : probas dans un demi-cercle 16-06-16 à 16:47

n points indépendants sont choisis uniformément sur une sphère .
Quelle est la probabilité   qu'il existe une demi sphère  contenant tous les n points ?

Posté par
etniopal
re : probas dans un demi-cercle 26-07-16 à 17:19

Je remonte le sujet pour proposer ce qui suit :
   On se donne un entier n > 1 et a [0 , 1[ et on se pose le problème suivant :  
" n +1 points indépendants sont choisis uniformément sur le périmètre d'un cercle.
Quelle est la probabilité  qu'il existe un arc de cercle de longueur donnée contenant tous les   points ? "

Le cercle sera := { z │|z| = 1} et la " longueur donnée " 2a où a ]0 , 1[ .

Si on introduit
    .m la mesure sur telle que pour toute borélienne u : +  on ait \int udm = \int_{0}^{1}{u(e^{2i\pi t})}dt
 \\
  .V = {e2it | 0 t a }
  . := n+1  = { (w0,w1,....,wn) | k , wk }
  .F := Plus petite tribu P-complète rendant mesurables les  projections canoniques X0,X1,....,Xn de sur   
  . P = m\otimes .....\otimes m (n + 1 fois )
       ( pour toute borélienne h : [0 , +[  ,  \int hdP = \int h(e^{2i\pi t_0},e^{2i\pi t_1},....,,....,e^{2i\pi t_n}) dt_0dt_1....dt_n )
  .A = { w   | z    k , wk z.V  }

  on a à montrer que A F et à calculer P(A)


On pose B = { (z,z.exp(2it1),....,z.exp(2itn) | z et t1,....tn distincts dans ]0 , a] }
B1 =  { (z.exp(2it1),z,z.exp(2it2,....,z.exp(2itn) |  z et  t1,....tn distincts dans ]0 , a] }
......
Bn = { (z.exp(2it1),....,z.exp(2itn),z) |  z et  t1,....tn distincts dans ]0 , a] }
B , B1 ,....., Bn sont des boréliens disjoints dont la réunion est  A'   l'ensemble des  w A tels que les wk soient distincts .
A\A' est P-négligeable  et donc A F et P(A) = P(A') .

Il est facile d voir que, pour tout k, P(Bk) = P(B) = an de sorte que P(A) = (n + 1)an

Posté par
Recomic35
re : probas dans un demi-cercle 26-07-16 à 22:05

C'est visiblement faux. Pour a=\dfrac{n}{n+1} il est certain qu'il y aura un arc de cercle contenant les n+1 points de longueur  2\pi a. En effet il y a au moins deux points successifs sur le cercle (disons dans le sens direct) tel que l'arc entre les deux soit de longueur \geq \dfrac{2\pi}{n+1}. Or (n+1) \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n ne fait pas 1.

Posté par
etniopal
re : probas dans un demi-cercle 27-07-16 à 09:37

Oui les Bk ne sont pas disjoints !

Posté par
Recomic35
re : probas dans un demi-cercle 27-07-16 à 12:21

Ca ne marche que pour a\leq 1/2, et c'est exactement le même raisonnement que celui que j'ai explicité pour a=1/2.
M'est avis qu'ici le formalisme lourdingue n'a servi qu'à occulter le bon sens.



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