Je remonte le sujet pour proposer ce qui suit :
On se donne un entier n > 1 et a [0 , 1[ et on se pose le problème suivant :
" n +1 points indépendants sont choisis uniformément sur le périmètre d'un cercle.
Quelle est la probabilité qu'il existe un arc de cercle de longueur donnée contenant tous les points ? "
Le cercle sera := { z │|z| = 1} et la " longueur donnée " 2a où a ]0 , 1[ .
Si on introduit
.m la mesure sur telle que pour toute borélienne u : + on ait
.V = {e2it | 0 t a }
. := n+1 = { (w0,w1,....,wn) | k , wk }
.F := Plus petite tribu P-complète rendant mesurables les projections canoniques X0,X1,....,Xn de sur
.
( pour toute borélienne h : [0 , +[ , )
.A = { w | z k , wk z.V }
on a à montrer que A F et à calculer P(A)
On pose B = { (z,z.exp(2it1),....,z.exp(2itn) | z et t1,....tn distincts dans ]0 , a] }
B1 = { (z.exp(2it1),z,z.exp(2it2,....,z.exp(2itn) | z et t1,....tn distincts dans ]0 , a] }
......
Bn = { (z.exp(2it1),....,z.exp(2itn),z) | z et t1,....tn distincts dans ]0 , a] }
B , B1 ,....., Bn sont des boréliens disjoints dont la réunion est A' l'ensemble des w A tels que les wk soient distincts .
A\A' est P-négligeable et donc A F et P(A) = P(A') .
Il est facile d voir que, pour tout k, P(Bk) = P(B) = an de sorte que P(A) = (n + 1)an