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probas : densités, loi uniforme

Posté par
labinocle
01-12-09 à 21:55

Bonjour! Voilà un exercice que je n'arrive pas à résoudre, j'aurais besoin d'aide :


On considère deux signaux aléatoire X(t) et Y(t) indépendants et uniformément distribués sur [-1;1]

a/ Que peut-on dire de la densité de probabilité de Z(t)=X(t)+Y(t) ?
Représenter graphiquement cette ddp.

b/ Reprendre la question a/ mais en considérant Z(t) comme étant la somme de n signaux aléatoires Xi(t) (1in) indépendants et uniformément distribués sur [-1;1]. Discuter.


Merci d'avance.

Posté par
PIL
re : probas : densités, loi uniforme 01-12-09 à 22:28

Bonsoir,

Si je comprends bien le "t" ne joue pas de rôle : tu as 2 var X et Y indépendantes de loi uniforme sur [-1,1] et tu cherches la loi de Z = X + Y.
Tu peux commencer par regarder une version discrète de ce problème : tu jettes 2 dés, X et Y sont les points obtenus et Z la somme des points; fais un dessin; c'est facile de trouver la loi de Z.
Pour ton problème : commence par déterminer la région du plan où se promène le couple (X,Y); calcule la fonction de répartition de Z : FZ(z) = P(Zz) = P(X+Yz) ; tu en déduiras la densité.

A toi !

Posté par
labinocle
re : probas : densités, loi uniforme 01-12-09 à 22:33

Euh... plus de détails?
Je comprends le cas des VA discrètes et je vois que la région où se promène le couple (X,Y) est un carré de côté égal à 2 mais je ne vois pas comment m'en servir...

Posté par
PIL
re : probas : densités, loi uniforme 01-12-09 à 22:49

Tu te fixes une valeur de z  (entre -2 et +2 car Z prendra ses valeurs dans cet intervalle !) et tu dessines la partie, notons-la Az, de ton carré qui est déterminée par la condition  X+Yz; la loi du couple (X,Y) est la loi uniforme sur le carré; donc  P(Zz) = P(Az) = (1/4) de l'aire de Az; le cas évident est z=0 où tu trouves 1/2 ; distingue les cas z<0 et z>0 ...

Posté par
labinocle
re : probas : densités, loi uniforme 03-12-09 à 20:41

J'ai posé Z=X+Y et W=Y.
Je fais un calcul Jacobien (J=1) et je trouve que la densité de probabilité de Z est pZ(z) = pX(z-w) * pY(w)dw (intégrale sur )


Je sais que pX(x)=1/2 si x [-1;1] (idem pr y)

Que devient l'intégrale???

merci

Posté par
PIL
re : probas : densités, loi uniforme 03-12-09 à 23:24

Bonsoir labinocle,

D'abord, puisque  pX(x) = 1/2  pour  x[-1,1] et 0 sinon, tu vois que  pX(z-w) = 1/2 si  w[z-1,z+1] et 0 sinon.  Dessine les 2 intervalles  [-1,1] et [z-1,z+1]; il y a 4 cas :
1) z < -2: les intervalles sont disjoints; pZ(z) = 0.
2) -2z0; l'intersection des intervalles est [-1,z+1]; tu intègres 1/4 sur cet intervalle, tu trouves pZ(z) = (z+2)/4.
3) 0z2 : ...
4) z > 2 : ...

(C'est la méthode générale, l'intégrale que tu calcules est le produit de convolution des densités de X et de Y; mes précédents messages te suggéraient une méthode plus intuitive, sans beaucoup de succès semble-t-il ...)

A toi !

Posté par
labinocle
re : probas : densités, loi uniforme 05-12-09 à 00:08

ouf, c'est bon c'est compris!
merci beaucoup!

Posté par
labinocle
re : probas : densités, loi uniforme 05-12-09 à 11:23

Euh par contre je ne vois pas comment raisonner pour la question b/

Et je cherche à mener le même raisonnement (avec les intervalles) pour savoir quand est-ce que z/w et w appartiennent simultanément à [0;1]?

merci

Posté par
PIL
re : probas : densités, loi uniforme 05-12-09 à 17:16

Bonjour labinocle,

Je ne comprends pas ta question, mais pour ce qui est du cas b/ tu peux voir les choses comme ça :
prends d'abord le cas n=3 : S = X + Y + Z avec X,Y,Z indépendantes et de loi uniforme sur [-1,1]; la densité de S, notons-la p3(s), est le produit de convolution de p2 (la densité que tu as calculée en a/) et p1 la densité de la loi uniforme sur [-1,1]:
  2$\rm p_3(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} p_1(s-w)p_2(w)dw

J'ai trouvé :  0 pour s<-3, (s+1)2/16 + (s+1)/4 +/4  pour -3<s<-1, (3-s2)/8 pour -1<s<+1,  (s-1)2/16 - (s-1)/4 + 1/4  pour 1<s<3 et 0 pour s>3; vérifie ! Dans le cas n=2  on a un triangle sur [-2,2], et dans le cas n=3 on une "courbe en cloche" sur [-3,3] formée de 3 arcs de parabole. Tu devines la suite ...et tu renonces  aussi sec à calculer exactement la densité pn  de  S = X1 + X2 + X3 + ... + Xn  !
Mais peut-être vas-tu penser au théorème central-limite ...

Posté par
labinocle
re : probas : densités, loi uniforme 08-12-09 à 21:25

Ok ok, par contre je n'ai jamais vu d'application du théorème de la limite centrale, donc ça m'intéresse de voir ça pour cet exo si t'as le temps.

Et mon autre question en fait c'est pour un exo du même genre pour lequel j'aboutis à pX(z/w) * pZ(w) * 1/|w| dw avec X et Y indépendantes et uniformément réparties sur [0;1]
(Tu remarqueras que j'ai procédé exactement de la même façon : ici Z=XY donc le jacobien est 1/|w|...)

Posté par
labinocle
re : probas : densités, loi uniforme 08-12-09 à 21:26

Donc c'est pour ça que je veux savoir quand z/w et w appartiennent "en même temps" à [0;1] ?

Posté par
PIL
re : probas : densités, loi uniforme 08-12-09 à 21:58

Salut,

Je prends un énoncé "simple" du thm central-limite : si X1,X2,.... est une suite de va indépendantes qui suivent la même loi avec une moyenne   et un écart-type , alors lorsque n est assez grand,  Sn = X1 + X2 + ... + Xn  suit une loi approximativement normale de moyenne E(Sn) = n et de variance Var(Sn) = n2 .
Ce résultat s'applique à ton exercice (question b/) :  E(Xi) = 0, Var(Xi) = 1/3  donc X1 + ... + Xn suit approximativement une loi normale de moyenne 0 et de variance  n/3. (dans les cas n=1, n=2, n=3, on peut dire qu'on voit déjà l'amorce d'une courbe gaussienne...).

Maintenant que je l'ai comprise je vais regarder ta question sur XY.

Posté par
labinocle
re : probas : densités, loi uniforme 08-12-09 à 22:03

Cool merci pour ton aide j'ai compris, je te devrais une partie de ma bonne note à mon partiel (enfin j'espère^^ c'est après demain...)

Posté par
PIL
re : probas : densités, loi uniforme 08-12-09 à 23:17

Pour Z = XY avec X,Y de loi uniforme sur [0,1] : tu dois intégrer  pX(z/w)pY(w)(1/|w|)dw  avec pX et pY égales à 1 sur [0,1] et 0 ailleurs. Pour que l'intégrande soit définie et non nulle il faut que 0 < w 1  et  0 z/w   1  donc  0 z w 1.  Ainsi donc tu intègres entre z et 1:

2$\rm p_Z(z) = \int_z^1 \frac{1}{w}dw = -ln(z) = ln(\frac{1}{z})

et cela pour  0 < z 1.

Tout de bon pour la suite, labinocle !  

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