Bon, je re-tente un raisonnement et vous me direz ce que vous en pensez...
Pour constituer le cube complet, je dois décider d'un placement ordonné des 27 cubes, chacun ayant 24 positions possibles dans l'espace.
Admettons que je commence par mettre les 8 coins, puis les 12 centres d'arêtes, puis les 6 centres de faces pour finir par le cube central.
Pour le premier que je place, 27 possibilités pour le choisir et 24 pour le tourner.
Pour le deuxième : 26 pour le choisir et 24 pour le tourner
Pour le troisième : 25 pour le choisir puis 24 pour le tourner...
on comprend que j'ai en tout 27!.2427 possibilités pour arranger tous mes petits cubes (même si certaines de ces possibilités donnent le même résultat visuel je suis obligé de les distinguer pour une raison d'équiprobabilité... disons que chaque cube est un dé à face numérotée et noire ou blanche)
maintenant regardons celles qui nous donnent un gros cube à faces noires :
pour le premier coin, j'ai 8 possibilités pour le prendre parmi ceux à 3 faces noires et il y a 3 positions convenant parmi les 24 orientations possibles... pour le suivant 7 possibilités et 3 orientations convenant... etc
donc pour positionner correctement les coins, j'ai 8!.38 cas favorables
pour les centres d'arête, une fois le cube à 2 faces noires choisi, j'ai 2 orientations de ce cube qui conviennent... on comprend qu'il y a donc 12!.212 façons de choisir et bien positionner les 12 cubes centres d'arête.
pour les centre de face, une fois le cube choisi (à 1 face noire), il y a 4 orientations qui le positionnent correctement... donc 6!.46 façons de bien positionner les 6 cubes centres de face.
enfin pour le cube central, une seule façon de le choisir et 24 orientations possibles.
je dirais que la probabilité cherchée vaut
soit environ 2.10-37 ... (on s'attendait de toute façon à un résultat très faible !)
qu'en pensez-vous ?
mm