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Niveau master
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Problème avec des cubes...

Posté par
julien007
20-09-10 à 21:35

Bonjour, je suis bloqué dans l'établissement d'un raisonnement pour le problème suivant :

Un grand cube 3x3x3 est formé d'un assemblage de 27 petits cubes 1x1x1 dont toutes les
faces sont blanches. On peint en noir les faces du grand cube, puis on le désassemble.
Quelqu'un ayant les yeux bandés reforme aléatoirement un cube 3x3x3 avec les 27 petits
cubes. Quelle est la probabilité que ce grand cube ait toutes ses faces entièrement noires?

Déjà, j'ai compté le nombre de cubes à 0 face noire : 1
                                       1            : 6
                                       2            : 12
                                       3            : 8

mais je ne vois pas quoi faire après, pouvez-vous m'aider svp ?

Merci d'avance

PS : je suis nouveau sur ce site...

Posté par
MatheuxMatou
re : Problème avec des cubes... 20-09-10 à 22:01

bonsoir

ben il y a 27! façons de placer les 27 cubes

maintenant, pour placer les 8 coins qui conviennent : 8! façons
puis les 6 centres de faces qui conviennent : 6!
puis les 12 centre d'arêtes qui conviennent : 12!
(pour le cube central, une seule façon)
d'où la proba :
8!.6!.12!/27!

mm

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 20-09-10 à 22:06

Merci beaucoup MatheuxMatou, je m'attendais à + compliqué mais c'était pour être sûr...

Merci encore !!!

Posté par
MatheuxMatou
re : Problème avec des cubes... 20-09-10 à 22:10

pas de quoi !

Posté par
1 Schumi 1
re : Problème avec des cubes... 20-09-10 à 22:14

Une proba c'est quand même généralement inférieur à 1...^^

Posté par
1 Schumi 1
re : Problème avec des cubes... 20-09-10 à 22:15

J'avais pas vu le 27!. Au temps pour moi.

Posté par
PIL
re : Problème avec des cubes... 20-09-10 à 22:23

Bonsoir à tous,

MM j'ai un doute : prends le problème plus simple où le grand cube est formé de 8 petits cubes; ce sont tous des coins (3 faces noires,3 faces blanches); ton raisonnement donne une probabilité égale à 1, non ?

Posté par
borneo
re : Problème avec des cubes... 20-09-10 à 23:21

Bonjour,


Une petite question indiscrète : on ne fait ce genre d'exo en master de quoi ?  

Posté par
MatheuxMatou
re : Problème avec des cubes... 20-09-10 à 23:22

c'est exact PIL... j'ai considéré dans l'énoncé uniquement le problème du placement des cubes et pas de leurs rotations possibles. tu as raison, c'est beaucoup moins simple (j'ai pris cela comme un problème d'anagramme)

Julien : mon raisonnement est faux (merci PIL)... excuse moi

Posté par
pierrecarre
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 07:47

Julien 007,

Les questions que tu posent font partie d'un concours où il n'y a pas de prix, sinon l'honneur d'y avoir apporter ses propres solutions.
Dès lors, je ne vois pas l'intérêt de demander les solutions sur un forum !
Si tu ne peux pas les résoudre par toi-même, il vaudrait mieux s'abstenir de participer.

r2.

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 11:47

Je suis d'accord avec toi pierrecarre mais je voudrais savoir les résoudre.
Malheureusement, je ne réussis pas tous les problèmes qu'on me pose et voilà, je suis intéressé par la recherche d'une solution (parfois de manière désespérée).
Et puis, déssolé, je suis nouveau sur ce site et pourquoi y a-t-il une rubrique concours, alors ?

Posté par
borneo
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 13:08

Tu peux déjà faire une recherche, car ce type d'exo a déjà été posté, sous des formes diverses.

Cherche sous "petits cubes".

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 16:21

Désolé mais j'ai été voir, il n'y a aucun topic qui contient mon problème...

Posté par
lafol Moderateur
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 16:35

Bonjour

Citation :
pourquoi y a-t-il une rubrique concours,


pour répondre aux questions des gens qui se préparent à un concours (recrutement d'enseignants, entrée dans les grandes écoles ...)

Posté par
lafol Moderateur
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 16:37

bornéo : j'avais eu cet exercice à faire dans un DS en maths sup, après le cours sur les dénombrements....

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 20:44

Et pour les rotations des cubes, on calcule le nombre de faces noires divisé par le nombre 6 (nombre total de faces) ?

Posté par
borneo
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 20:49

On ne peut pas prendre petit cube par petit cube et calculer à chaque fois la proba de tomber sur le bon ?
Long, mais pas difficile.  

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 20:53

Oui mais je ne vois pas comment on fait...


Et on élève le résultat à la puissance 27 ?

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 20:56

Enfin, je veux plutôt dire qu'on effectue un produit de 27 probabilités pas toutes égales ?

Posté par
borneo
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 21:00

En fait, il ne suffit pas de mettre le "bon cube" à la bonne place, il faut encore le mettre dans la bonne position (pour les cubes asymétriques).

En fait, il n'y a que le cube tout blanc qui sera forcément dans la bonne position, s'il est posé au bon endroit.

Moi, si je devais résoudre ce problème, je ferais une maquette.  

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 21:05

Posté par
borneo
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 21:07

julien007 je pense que l'intérêt de ce genre de problème n'est pas dans la réponse, mais dans ce que t'apprend la recherche de la solution.

Mon idée est de décider de l'ordre arbitraire dans lequel je vais remonter mon cube, et de tirer l'un après l'autre les petits cubes à l'aveugle d'une urne. A chaque tirage, je détermine la proba que mon petit cube soit au bon endroit et dans la bonne position. Je multiplie toutes ces probas. C'est la méthode "bourrin". La méthode experte, je ne la connais pas.

Aux "pros" de me dire si mon raisonnement tient la route.  

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 21:10

Oui, je pensais à ca justement mais c'est juste les rotations qui me posent problème...

Sinon, j'aurais résolu comme MM : en calculant le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles mais MM a aussi oublié les rotations...

Posté par
borneo
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 21:20

Pour chaque petit cube, il y a une proba d'être dans la bonne position. A calculer...

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 21:25

Donc 8 * (6 choose 3) pour les cubes sommets et fois 8! pour les permutations
     6 * (6 choose 1) pour les cubes centraux et fois 6! pour les permutations
    12 * (6 choose 2) pour les cubes centres d'arêtes et fois 12! pour les permutations


???

Posté par
PIL
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 21:43

Bonsoir,

Halmos disait que lorsqu'un problème résiste, il faut essayer un problème du même genre mais plus simple. Je prends le cas d'un cube formé de 8 petits cubes, donc tous les petits cubes sont des coins du grand cube. Un petit cube peut être posé de 24 façons différentes : 6 choix pour la face au sol et 4 rotations qui conservent cette face au sol. Ce petit cube est un coin du grand cube : parmi les 24 possibilités il y en a 3 qui garantissent les faces noires à l'extérieur; donc la probabilité qu'un petit cube soit "bien placé" est 1/8. La probabilité que le grand cube soit noir est donc (1/8)8.
Qu'en pensez-vous ?  

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 21:46

Pourquoi on a 4 rotations qui conservent la face au sol ?

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 21:47

On fait tourner 4 fois pour citer ces rotations ?

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 21:49

Mais pour le 3x3x3, on doit tenir compte des autres "types" de cubes ?

Posté par
PIL
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 22:03

Pour tes deux premières questions, amuse toi avec un dé ...
Pour la troisième, c'est la difficulté; si tu te fixes une procédure de reconstruction du grand cube, tu dois déterminer les probabilités de tirer les petits cubes dans le bon ordre ( par exemple un coin, une arête, un coin, ...) et les probabilités de les poser correctement ...

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 22:13

Donc on a 1/27 la probabilité de placer un des 27 cubes dans une des 27 places du grand cube ?

Mais, je pense que je vais laisser tomber : vous n'y arrivez pas non plus je pense

Parce qu'il faut encore tenir compte du fait que le petit cube tiré parmi les 27 possède le bon nombre de faces noires et qu'il ait été placé à la bonne place parmi les 27 places disponibles : par ex pour un cube sommet, il faut 3 faces noires et qu'il soit un des 8 sommets, sinon impossible...

Je suis trop mort, ca fait une semaine que je cherche et j'en peux plus

Posté par
borneo
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 22:22

Citation :
Donc on a 1/27 la probabilité de placer un des 27 cubes dans une des 27 places du grand cube ?


Ben non, car certains petits cubes sont présents en plusieurs exemplaires.

On a 8 cubes à 3 faces noires.

Donc au 1er tirage, on a 8/27 chances de tomber sur le bon.

Il reste à calculer la proba de bien le placer...

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 22:25

8 possibilités sur 27 => aussi 8/27 ?

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 22:25

et après on multiplie par 8 pour le nombre de cubes sommets ?

Posté par
borneo
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 22:27

Je crois qu'on a eu ce genre de problème il y a quelques années, en énigme officielle.

Je m'étais aidée d'apéricubes

Problème avec des cubes...

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 22:33

Et attends, le raisonnement c'est pas du genre :

au 1e tirage, on a autant de chances de tirer un cube sommet et puis le placer
au 2e tirage, on a autant de chances de tirer un 2e cube sommet parmi les 26 restants et puis 1 des 7 places sommets restants
au 3e tirage,...

au 8e tirage,...

au 9e tirage, autant de chances de tirer un des 6 cubes centraux et puis le placer dans un des 6 endroits possibles ?

etc

???

Posté par
borneo
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 22:48

Je te mets un lien vers un problème très similaire : Enigmo 71 : une histoire de cubes

Bonne chance...  

Posté par
MatheuxMatou
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 22:50

Bon, je re-tente un raisonnement et vous me direz ce que vous en pensez...

Pour constituer le cube complet, je dois décider d'un placement ordonné des 27 cubes, chacun ayant 24 positions possibles dans l'espace.

Admettons que je commence par mettre les 8 coins, puis les 12 centres d'arêtes, puis les 6 centres de faces pour finir par le cube central.

Pour le premier que je place, 27 possibilités pour le choisir et 24 pour le tourner.
Pour le deuxième : 26 pour le choisir et 24 pour le tourner
Pour le troisième : 25 pour le choisir puis 24 pour le tourner...

on comprend que j'ai en tout 27!.2427 possibilités pour arranger tous mes petits cubes (même si certaines de ces possibilités donnent le même résultat visuel je suis obligé de les distinguer pour une raison d'équiprobabilité... disons que chaque cube est un dé à face numérotée et noire ou blanche)

maintenant regardons celles qui nous donnent un gros cube à faces noires :

pour le premier coin, j'ai 8 possibilités pour le prendre parmi ceux à 3 faces noires et il y a 3 positions convenant parmi les 24 orientations possibles... pour le suivant 7 possibilités et 3 orientations convenant... etc
donc pour positionner correctement les coins, j'ai 8!.38 cas favorables

pour les centres d'arête, une fois le cube à 2 faces noires choisi, j'ai 2 orientations de ce cube qui conviennent... on comprend qu'il y a donc 12!.212 façons de choisir et bien positionner les 12 cubes centres d'arête.

pour les centre de face, une fois le cube choisi (à 1 face noire), il y a 4 orientations qui le positionnent correctement... donc 6!.46 façons de bien positionner les 6 cubes centres de face.

enfin pour le cube central, une seule façon de le choisir et 24 orientations possibles.

je dirais que la probabilité cherchée vaut

P = \frac {8!.3^8.12!.2^12.6!.4^6.1.24^1}{27!.24^27}

soit environ 2.10-37 ... (on s'attendait de toute façon à un résultat très faible !)

qu'en pensez-vous ?

mm

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 22:52

Ouf, sacré réflexion, j'attends confirmation des "pros"

Posté par
MatheuxMatou
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 22:54

hou la la... j'ai oublié de mettre des accolades pour que mes puissances s'écrivent correctement !
je recommence :

4$ P = \frac{8!.3^8.12!.2^{12}.6!.4^6.1.24^1}{27!.24^{27}}

voilà, c'est mieux

mm

Posté par
PIL
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 22:59

Je propose qu'on reconstruise d'abord la couche du fond en posant 9 petits cubes dans l'ordre suivant :
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Le 1er est un coin: probabilité de tirer un coin : 8/27; probabilité de bien le placer : 1/8  (voir mon post de 21:43)
Le 2ème est une arête: probabilité de tirer une arête : 12/26 ; probabilité de bien la placer : 2/24 = 1/12;
etc
Tu passes ensuite à la 2ème couche puis à la 3ème.

Posté par
borneo
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 22:59

Citation :
Ouf, sacré réflexion, j'attends confirmation des "pros"


MatheuxMatou est un "pro"  

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 23:00

Il a réussi ???!!!

Posté par
MatheuxMatou
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 23:03

(merci Bornéo... mais bon, les "pros" se trompent aussi parfois ! surtout sur des trucs aussi piégeux, j'attends quand même confirmation d'autres "pros" pour être sûr...)

Posté par
PIL
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 23:04

J'arrive un peu tard !
MM, j'obtiens le même résultat que toi !

Posté par
borneo
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 23:05

Tu as regardé mon lien de 22:48 ?

Enigmo 71 : une histoire de cubes

Posté par
borneo
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 23:07

Il y avait eu beaucoup de s  

Posté par
julien007
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 23:12

Et la merveille, c'est que j'obtiens en réessayant chez moi le même résultat !!!

Merci MM et à tous, je suis super content et heureux d'avoir animé ce forum

Posté par
MatheuxMatou
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 23:13

non Bornéo, je n'ai pas regardé mais je vais aller jeter un oeil

PIL : oui, sans être rédigée pareil, l'amorce de ton raisonnement recolle parfaitement avec le mien.

Posté par
MatheuxMatou
re : Problème avec des cubes... 21-09-10 à 23:16

Bornéo : ah ben effectivement, c'était exactement ça ! me suis creusé les méninges pour rien !

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