fn'(x)=  Somme ( k x^(k-1)).
Sur [0,1], fn'>0 donc fn strictement croissante. (s'annule seulement en 0).

PS : pas besoin de t'embeter a utiliser la somme géométrique pour la limite, tu dérives tout simplement un polynome...

2) tu appliques : fn(1/2)= (1/2 - 1/2^(n+1))/(1-1/2) = 1 - 1/2^(n)

3)Enoncé faux... Quand n=1, il n'existe rien du tout...
Sinon : n>1 donc fn(1)=n>1 et fn(1/2)<1 donc bijection et tout et tout.

4) fn(un+1)=fn+1(un+1) - x^n+1 <1 car x^n+1 >0.

salut et bonne année

f_n est la somme de n fn strictement croissante (et bijective) de [0,1] dans [0,1] donc f_n est strictement croissante de [0,1] dans [0,n]

f(1/2)<1 donc TVI...

merci bien merci bien
je me penche la dessus avec vos conseils et je vous tiens au courant de mon avancée ou plutôt de ma non-avancée

Première partie presque achevée, seules les variations de (Un) me pose problème surtout sur les intervalles en fait.
Si j'ai bien compris, je pense que Un est croissante sur [0,1/2[ et décroissante sur ]1/2,1]. Mais si c'est cela je ne sais pas comment clairement l'expliquer.

Ce qui me pose donc problème pour la suite du Problème:

PARTIE B:
1° Démontrer que (Un) converge vers une limite l[1/2,1[.
2° Vérifiez que nN*, Un,-Un^(n+1)=1-Un.
En écrivant Un^(n+1)=exp((n+1)lnUn), déterminez lim Un^(n+1). En déduire l=1/2.

et bien comme fn(un+1)=fn+1 ( un+1)-x^n+1 = 1-x^n+1
donc fn(un+1)<1=fn(un)
donc un+1<un (raisonner par l'absurde.

Partie B :
1) u décroissante + minorée


le 2) j'arrive pas a comprendre la , .