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problème d'arithmétique et d'analyse
Bonjour,
Je suis face à un exercice qui me pose énormément de soucis. Je vous donne l'énoncé et le peu que je sache faire.
Soit a>0, et la famille de polynômes Pa(X)=X^3+aX+1.
a) Montrer que pour tout a>0, Pa(X) admet une racine réelle et une seule notée z(a) et que z(a)<0.
b) Montrer que si a est un entier naturel non nul, z(a) n'appartient pas à Q.
c) Etablir que l'application z : a -> z(a) est une application bijective de ]0;+inf[ sur ]-1;0[. Calculer, pour tout x dans ]-1;0[, l'application réciproque z^-1(a). Etudier et tracer sa courbe représentative.
Alors je n'ai fait que la question a) et je ne suis pas sûre que ce soit correct. J'ai démontrer l'existence, l'unicité et la négativité par l'absurde. Quand au reste je suis carrément bloquée.
Votre aide est donc la bienvenue.
Merci
Bonjour
a) , donc la fonction Pa est strictement croissante, elle tend vers -
quand x tend vers - et P(0)=1 > 0 donc elle s'annule une et une seule fois sur ]-,0[
b) Supposons que z(a)=-p/q, fraction irréductible. Alors
donc et ceci est contradictoire avec le fait que p et q sont premiers entre eux.
c) Est-ce que tu sais quelque chose du genre théorème des fonctions implicites?
Oh lala oui j'ai appris ça le théorème des fonctions implicites mais de loin. Je ne vois pas trop comment l'utiliser là.
Bon, il y a quand même des remarques évidentes et je voulais être sure que ce n'est pas le but!
Comme P(-1)=-a < 0, c'est vrai que -1 < z(a) < 0, donc la fonction va bien de dans
.
Soit x dans ]-1,0[. x=z(a) si et seulement si donc
et ceci ne pose pas de problème à étudier.
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