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Problème de statistique loi normale.

Posté par
French1
25-10-11 à 06:10

Bonjour,
J'ai besoin d'une personne assez brillante pour m'aider à faire ce problème car je suis nul en stat. J'ai exploré toutes les avenues mais en vain, j'ai besoin de me faire diriger.

Le propriétaire d'une société de distribution de produits alimentaires, située dans la région de Toronto, reçoit de l'Inde de grandes quantités de riz qu'il traite et emballe dans des sacs. Dans son usine, une seule machine est utilisée pour verser le riz dans des sacs étiquetés de 4 kg. Le poids du riz qui y est versé peut évidemment varier quelque peu d'un sac à l'autre. La machine est toutefois réglée de telle sorte que le poids des sacs de riz se distribue selon une loi normale de moyenne μ = 4,2 kg et d'écart-type σ = 0,4 kg. On peut donc supposer que la quantité de riz versée dans un sac est indépendante de celle versée dans tout autre sac.

1 . Quelle est la proportion de sacs qui pèsent moins que le poids inscrit sur l'étiquette?

2 . Le propriétaire de la société considère deux propositions pour réduire la proportion de sacs dont le poids est en deçà du poids inscrit sur l'étiquette. La première proposition est de faire passer le poids moyen à 4,3 kg et de laisser l'écart-type tel quel. La deuxième proposition consiste à garder le poids moyen à 4,2 kg et à faire passer l'écart-type de 0,4 kg à 0,2 kg.

a) Quelle serait la proportion de sacs qui pèsent moins que le poids inscrit sur
l'étiquette si le propriétaire opte pour la première proposition?

b) Quelle serait la proportion de sacs qui pèsent moins que le poids inscrit sur
l'étiquette si le propriétaire opte pour la deuxième proposition?

c) Quelle proposition recommanderiez-vous au propriétaire?

3 . À quelle moyenne le propriétaire doit régler la machine s'il veut que seulement 10 % de sacs pèsent moins que le poids inscrit sur l'étiquette?

4 . Un inspecteur d'une agence gouvernementale visite l'usine afin de s'assurer que les
règlements sur l'étiquetage sont bien respectés. Il prélève au hasard dix sacs parmi
ceux qui viennent d'être remplis par la machine et il pèse le contenu de chacun des
sacs à l'aide d'une balance très précise. Il suffit que l'un des sacs pèse moins de 4 kg pour qu'il émette un constat de non-conformité. Si la machine est réglée de telle sorte que la quantité moyenne μ versée est toujours égale à 4,2 kg et l'écart-type σ = 0,4 kg, quelle est la probabilité pour que l'inspecteur émette un avis de non-conformité?

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 25-10-11 à 08:22

Bonjour,
1. tu dois calculer P(X<4)
2.a X suit N(4.3;0.4) calculer P(X<4)
2.b X suit N(4.2;0.2) calculer P(X<4)
2.c choisir la solution pour laquelle P(X<4) est la plus petite
3. X suit N(m;0.4) déterminer m pour que P(X<4)=0.1
4. Passage à une loi binomiale

Posté par
French1
re : Problème de statistique loi normale 25-10-11 à 15:22

Suis-je correct avec cette démarche à l'aide d'excel?
=LOI.NORMALE(4,2;4;0,4;VRAI)
Réponse 0,691462461

Merci beaucoup pour votre aide.
Cordialement

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 25-10-11 à 15:40

alors plutôt que d'utiliser excel (que je ne maîtrise pas) je préfère utiliser le changement  de variable T=\frac{X-m}{\sigma} et la table de la loi normale centrée réduite ...
P(X<4)=P(\frac{X-4.2}{0.4}<\frac{4-4.2}{0.4}=P(T<-\frac{1}{2})  ce qui donne  P(T<-{1}{2})=1-\pi(0.5) = 1-0.6915=0.3085

Posté par
French1
re : Problème de statistique loi normale 25-10-11 à 18:18

Je dois vous remercier pour votre aide, vous savez que vous êtes très gentil de m'aider, je vous en suis très reconnaissant.

J'ai fait une petite erreur dans mon premier calcul, voici plutôt les réponses aux deux premières question:

Question 1
=LOI.NORMALE(4;4,2;0,4;VRAI)
  Réponse : 0,3085

Question 2
a) P(X<4)
    =LOI.NORMALE(4;4,3;0,4;VRAI)
      Réponse : 0,226627352

b) P(X<4)
    =LOI.NORMALE(4;4,2;0,2;VRAI)
      Réponse : 0,158655254

Maintenant pour la question 3 je dois isoler le poid moyen car je ne le connais pas, est-ce que je dois également utiliser la loi normale et comment je fais?

z= 4-a = 0,1
   0,4

P.S. Dans votre réponse plus haut, à quel endroit vous avez pris le 12 dans l'équation P(T < -12).

Enocre une fois merci

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 25-10-11 à 19:10

Je vois que tu es en BTS tu n'auras pas excel le jour de l'examen, je te conseille donc de faire les calculs ou au moins le changement de variable par écrit, même une calculatrice telle que la ti-82 peut faire ces calculs....
dans mon calcul le -12 est à remplacer par -1/2 c'est une erreur de frappe.
tes deux calculs de proba sont justes, maintenant il faut faire ton choix entre les deux suggestions, tu prends quelle option ?

Posté par
French1
re : Problème de statistique loi normale. 25-10-11 à 19:51

Voici mon choix en c):
c) La solution pour laquelle P(X<4) serait la mieux serait la deuxième 0,158655254 car elle est la plus petite. Ce qui fait en sorte de réduire l'écart.

Pouvez-vous m'aider pour la question 3?

Merci

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 25-10-11 à 20:13

pour la 3 :
P(X<4)=0.1
P(\frac{X-m}{0.4}<\frac{4-m}{0.4})=0.1
P(T<\frac{4-m}{0.4})=0.1 est équivalent à P(T\ge \frac{m-4}{0.4})=0.1
on aura alors 1-P(T<\frac{m-4}{0.4})=0.1
P(T<\frac{m-4}{0.4})=0.9
tu sais que \pi(1.29)\simeq 0.9
donc  \frac{m-4}{0.4}=1.29
je te laisse revoir tout ça à tête reposée pour être bien certain d'avoir compris...

Posté par
French1
re : Problème de statistique loi normale. 26-10-11 à 02:40

Puis-je soliciter votre aide pour la question 4?

Avec excel on demande le nombre de succès, tirages, probabilité de succès et la cumulative. Comment dois-je faire?

Nombre de succès ??
Je présume que les tirages sont 10
Probabilité de succès ??
La cumulative sera FAUX


Merci

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 26-10-11 à 06:33

comme le poids des sacs suit une loi normale de paramètres m=4.2 et =0.4 il est facile de déterminer la probabilité que le poids s'un sac est inférieure à 4 kg, ce sera également la probabilité de succès de la variable aléatoire Y, ensuite à l'aide de la loi binomiale tu pourras déterminer la probabilité P(Y1)

Posté par
French1
re : Problème de statistique loi normale. 26-10-11 à 22:29

Si je comprends bien, je dois claculer la même chose qu'à l'exercice 1 puis par la suite y aller avec la loi binomiale?

P(X<4)
=LOI.NORMALE(4;4,2;0,4;VRAI)
  Réponse : 0,3085

Ensuite j'utiliser la loi binomiale:
Nombre de succès ??
Les tirages sont 10
Probabilité de succès 0,3085
La cumulative sera FAUX

Suis-je dans le champs?

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 26-10-11 à 22:40

Y suit B(10,0.3085)
P(Y1)= 1-P(Y=0) = 0.975

Posté par
French1
re : Problème de statistique loi normale. 27-10-11 à 03:18

Merci beaucoup TED pour toute votre aide. Vous êtes une personne très aimable.
Puis-je soliciter votre aide une dernière fois dans un problème de probabilité? Le voici:

L'Institut de la propriété industrielle (IPI) a pour mission de veiller sur la protection des inventions enregistrées par l'industrie et ceci, moyennant des frais annuels fixes. Les brevets d'inventions industrielles sont ainsi enregistrés par l'IPI qui catégorise ces derniers en trois groupes : les technologies de l'information (TI), l'industrie médicale et pharmaceutique (MP) et l'ingénierie industrielle (II). Cette année, 60 % des brevets enregistrés à l'IPI sont du type TI, 39 % appartiennent à la catégorie MP et 1 % appartiennent à la catégorie II. L'Agence Brevets Fauchon (ABF) est sous-traitante pour l'IPI afin de faire des vérifications périodiques quant à l'utilisation non légitime de ces inventions par d'autres industries. Les agents de l'ABF ont donc accès à tous les dossiers relatifs aux brevets d'invention de l'IPI. Pour effectuer son travail périodique et pour gagner du temps, un agent de l'ABF tire périodiquement au hasard un échantillon de sept dossiers correspondant à sept brevets d'invention.

1 . Quelle est la probabilité de ne tirer aucun dossier appartenant à la catégorie II?

2 . Quelle est la probabilité que la majorité des dossiers tirés appartienne à la catégorie TI?

3 . Quel est le nombre espéré de dossiers de la catégorie TI dans l'échantillon? Quel est son écart-type?

Merci

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 27-10-11 à 07:18

Il s'agit d'utiliser des lois binomiales, selon la variable aléatoire désignée à toi de déterminer le paramètre p correspondant, c'est à toi de me proposer quelque chose...

Posté par
French1
re : Problème de statistique loi normale. 27-10-11 à 19:38

Voici ma réponse

=LOI.BINOMIALE(;7;0,1;FAUX)
Réponse : 0,4783

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 27-10-11 à 19:46

non tu sais que X suit B(7;0.01) et tu cherches P(X=0)= \binom{7}{0}0.01^0\times 0.99^7

Posté par
French1
re : Problème de statistique loi normale. 27-10-11 à 19:57

Désolé, je crois avoir oublié un 0.

=LOI.BINOMIALE(;7;0,01;FAUX)
Réponse : 0,9321 ou 93.2%

Merci

Maintenant pour la question 2, je crois qu'il s'agit:

=LOI.BINOMIALE(;7;0,6;FAUX)= 0.0016
=1-0,0016 = 0.9984
Réponse : 0,9984 ou 99.8%

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 27-10-11 à 20:06

tu as un échantillon de 7 dossiers si la majorité doit être de la catégorie TI on doit déterminer la probabilité P(X4)

Posté par
French1
re : Problème de statistique loi normale. 27-10-11 à 20:09

Suis-je correct de cette façon?

=LOI.BINOMIALE(4;7;0,6;FAUX)
Réponse : 0,2903 ou 29%

Posté par
French1
re : Problème de statistique loi normale. 27-10-11 à 20:11

Sans oublier bien entendu:
=1-0,2903 = 0.7097
Réponse : 0,7097 ou 71%

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 27-10-11 à 20:14

P(X4)=P(X=4)+P(X=5)+...+P(X=7)0.7102

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 27-10-11 à 20:15

ok

Posté par
French1
re : Problème de statistique loi normale. 27-10-11 à 20:35

Pour la question 3 je n'ai aucune idée?
Pouvez-vous me guider?

Merci

Posté par
French1
re : Problème de statistique loi normale. 27-10-11 à 20:56

Je crois avoir la bonne réponse, pouvez-vous confirmer?

=LOI.BINOMIALE(0;7;0,7097;FAUX)
=LOI.BINOMIALE(1;7;0,7097;FAUX)
=LOI.BINOMIALE(2;7;0,7097;FAUX)
=LOI.BINOMIALE(3;7;0,7097;FAUX)
=LOI.BINOMIALE(4;7;0,7097;FAUX)
=LOI.BINOMIALE(5;7;0,7097;FAUX)
=LOI.BINOMIALE(6;7;0,7097;FAUX)
=LOI.BINOMIALE(7;7;0,7097;FAUX)

x P(X = x)
0 0,0002
1 0,0030
2 0,0218
3 0,0889
4 0,2172
5 0,3186
6 0,2597
7 0,0907

Merci

Posté par
French1
re : Problème de statistique loi normale. 27-10-11 à 21:00

Et son écart-type
=ECARTYPE(D5562)= 0,1241

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 28-10-11 à 02:02

Quand une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres n et p l'espérance mathématique est donnée par E(X) = n p et la variance V(X) = n p q

Posté par
French1
re : Problème de statistique loi normale 28-10-11 à 02:46

Donc, je ne suis pas correct avec ce problème?

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 28-10-11 à 07:32

on a p=0.71 et n = 7 donc E(X)=0.71*7 = 4.97
je le vois pas dans tes réponses tu dois encore faire le total de tes xip(xi)
V(X)=7*0.71*0.29=1.4413 ==> 1.20
d'une manière générale tu balances des résultats obtenus avec un tableur, mais tu n'expliques en rien de ta démarche pour moi c'est pas bon... il faudrait au début du deuxième exercice expliquer pourquoi tu utilises une loi binomiale...

Posté par
French1
re : Problème de statistique loi normale. 28-10-11 à 18:21

Merci beaucoup pou toute votre aide, vous m'aidez énormément à comprendre.

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 28-10-11 à 18:48

je ne sais pas si je t'ai aidé à comprendre mais j'aimerai que tu essaies de refaire cet exercice sans excel et sans regarder le corrigé...

Posté par
Malinah
re : Problème de statistique loi normale. 04-04-12 à 18:24

Bonjour à vous 2, je suis aussi à la résolution de ce même problème, et je me demandais ce que signifiais votre PI dans la formule inscrite plus haut. Donc, la question est comment calculer vous le PI(0.5) pour que ca donne 0,6915?


Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 04-04-12 à 22:31

Bonsoir,
le (t) signifie qur l'on fait la lecture de la probabilité dans le tableau de la loi normale centrée réduite...

Posté par
Mbenk025
re : Problème de statistique loi normale. 15-04-13 à 02:42

French1 j'aimerais savoir si ton travail a été corrigé et si quelque chose était faux. J'ai à la remettre aussi et j'aimerais pouvoir vérifier. Merci

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 15-04-13 à 10:32

Bonjour,
tu n'auras pas de réponse de French1 puisque son compte n'est plus actif (pseudo en vert),
tu peux toujours mettre tes réponses et je vérifierai...

Posté par
Trembj
Problème de statistique loi normale. 03-03-14 à 21:30

Bonjour,

J'aimerais savoir si c'est possible pour vous de m'aider.

J'ai justement le même exercice à faire et je n'arrive pas à saisir la question 3 qui a déjà très bien été démontré, mais d'où vient le 1.29 et au final comment trouver cette moyenne.

Le propriétaire d'une société de distribution de produits alimentaires, située dans la région de Toronto, reçoit de l'Inde de grandes quantités de riz qu'il traite et emballe dans des sacs. Dans son usine, une seule machine est utilisée pour verser le riz dans des sacs étiquetés de 4 kg. Le poids du riz qui y est versé peut évidemment varier quelque peu d'un sac à l'autre. La machine est toutefois réglée de telle sorte que le poids des sacs de riz se distribue selon une loi normale de moyenne μ = 4,2 kg et d'écart-type σ = 0,4 kg. On peut donc supposer que la quantité de riz versée dans un sac est indépendante de celle versée dans tout autre sac.

À quelle moyenne le propriétaire doit régler la machine s'il veut que seulement 10 % de sacs pèsent moins que le poids inscrit sur l'étiquette?

P(X<4)=0.1
P(\frac{X-m}{0.4}<\frac{4-m}{0.4})=0.1
P(T<\frac{4-m}{0.4})=0.1 est équivalent à P(T\ge \frac{m-4}{0.4})=0.1
on aura alors 1-P(T<\frac{m-4}{0.4})=0.1
P(T<\frac{m-4}{0.4})=0.9
tu sais que \pi(1.29)\simeq 0.9
donc  \frac{m-4}{0.4}=1.29

Merci de votre aide

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 08-03-14 à 09:31

Bonjour
le 1.29 on le trouve par lecture du tableau de la loi normale centrée réduite on voit que pour t=1.29 on a une probabilité P(t<1.29)=0.9015
pour trouver m il suffit alors de résoudre  \frac{m-4}{0.4}=1.29
 \\

Posté par
Marieroxy
re : Problème de statistique loi normale. 23-06-15 à 02:01

Bonjour Ted,

Malgré vos explication je ne comprend toujours pas comment vous trouvez le 1,29 dans la table de la loi normale centrée réduite. Quels sont les axes que vous choisissez?


Merci de votre aide.

Marie

Posté par
Ted
re : Problème de statistique loi normale. 24-06-15 à 14:28

Bonjour
dans la table de la loi normale centrée réduite je lis à l'intersection de la ligne 1.2 et la colonne 0.09 la valeur de 0.9015

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